Matematyka.pl

Witam,

niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie otwartym i ograniczonym podzbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\). Niech \(\displaystyle{ d(x):=dist(x,\partial\Omega)}\) oznacza odległość (euklidesową) punktu \(\displaystyle{ x\in\Omega}\) od brzegu \(\displaystyle{ \partial\Omega}\). Zdefiniujmy funkcję
\(\displaystyle{ \xi:\overline{\Omega}\to[0,1]; \quad \xi(x):=\min\left\{\frac{d(x)}{\delta},1\right\},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \delta\in (0,1]}\) jest ustalona.

Chciałbym uzasadnić następujące szacowanie p.w.:
\(\displaystyle{ |\nabla\xi|\leqslant \frac{1}{\delta}}\)

Bardzo łatwo można wywnioskować z definicji funkcji \(\displaystyle{ \xi}\), że znika na brzegu, a gdy odetniemy się od brzegu o pas grubości \(\displaystyle{ \delta}\), to funkcja ta ma wartość \(\displaystyle{ 1}\). Interesuje mnie jak ponadto otrzymać ten warunek na jej wzrost w tym właśnie pasie.

Pozdrawiam,
A.

Przeważnie to co piszę nie ma sensu, weź to pod uwagę.
Łatwo widać, że jest tak:
\(\displaystyle{ |\nabla\xi|\leqslant \frac{ \sqrt{n}}{\delta}}\)
Ale może doprecyzuj co oznacza \(\displaystyle{ |\nabla\xi|}\)

\(\displaystyle{ |\nabla\xi|=\sqrt{\xi_{x_1}^2+\ldots+\xi_{x_n}^2}}\)

W każdym razie problem już rozwiązany. Jak się zauważy, że \(\displaystyle{ \xi}\) jest lipschitzowska, to jej gradient p.w. szacuje się przez stałą Lipschitza, stąd otrzymujemy to szacowanie.

Pomyślałem o tym samym ale nie wiem czemu zatrzymałem się na szacowaniu po współrzędnych, stąd n w liczniku.