Całka po konturze

[adam1407]

Witajcie, jest taka sprawa.

Mam policzyć całkę: \(\displaystyle{ \int \frac{dz}{4-z^2}}\) po konturze, który jest okręgiem o promieniu 3 i środku w punkcie (2,0). Zatem parametryzuję okrąg w następujący sposób:
\(\displaystyle{ x=3cos(\phi)+2}\) oraz \(\displaystyle{ y=3sin(\phi)}\). Do całki za \(\displaystyle{ dz}\) wstawiam \(\displaystyle{ dz=dx+idy}\) a za \(\displaystyle{ z}\) wstawiam \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Rozbiłem sobie wyrażenie na ułamki proste: \(\displaystyle{ \frac{1}{2-z^2}=\frac{1}{4} \frac{1}{2-z} + \frac{1}{4} \frac{1}{2+z}}\). I podstawiając wszystko dostaję dwie całki, gdzie jedną z nich jest: \(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \frac{-3sin(\phi)+3icos(\phi)}{-3cos(\phi)-3isin(\phi)}d\phi}\). Mathematica wypluwa mi wynik \(\displaystyle{ -2 \pi i}\), a mi wychodzi \(\displaystyle{ 0}\).

Czy ktoś mógłby to policzyć tak żebym wiedział co nie gra?

[chris_f]

A słyszałeś o residuach? Liczysz całkę po konturze zamkniętym. Gdyby wewnątrz funkcja była przyzwoita, to z tw. Cauchy'ego całka wychodziła by zero. Tyle, że sprawdź, czy czasem wewnątrz obszaru całkowania nie ma jakichś biegunów. Wtedy nie wyjdzie zero.
Tu już nie chodzi o parametryzację i całkowanie.

[adam1407]

Rozumiem. Tylko polecenia do zadania nakazuje policzyć całkę właśnie w ten sposób. Nie korzystając z twierdzenia Cauchy'ego Jak w tej całce, którą wypisałem podstawię sobie: \(\displaystyle{ \xi = -3 cos (\phi)-3isin(\phi)}\) dostaję: \(\displaystyle{ d\xi=(3sin(\phi)-3icos(\phi))d\phi}\). Moja całka przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ -\int_{\xi_1}^{\xi_2} \frac{d\xi}{\xi}=-log(\xi_2)+log(\xi_1)}\)= (po podstawieniu pierwotnych granic) =\(\displaystyle{ -log(-3cos(2\pi)-3isin(2\pi))+log(-3cos(0)-3isin(0))}\), a to jest równe zero. Skąd więc wynik jaki podaje program? Czego nie uwzględniam? Czy to może wynik występowania jakichś osobliwości w mianowniku, których nie uwzględniam w oznaczaniu granic całki?


@edit
Ktokolwiek ma pomysł?