Matematyka.pl

Zadanie pochodzi z Olimpiady "O diamentowy indeks AGH" 2007/2008.

Długość wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa długości krawędzi podstawy. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w ten ostrosłup do objętości kuli opisanej na nim.

Długość krawędzi podstawy to \(\displaystyle{ a}\), promień kuli wpisanej to \(\displaystyle{ r}\), a kuli opisanej to \(\displaystyle{ R}\).
Moje pytanie: czy kula wpisana i opisana mają wspólny środek? Tj. czy \(\displaystyle{ a=R+r}\) ?

W tym przypadku nie.

@edit
Ale nawet gdyby miały wspólny środek, to nie zachodziłoby \(\displaystyle{ R+r=a}\)

W takim razie jak policzyć promień kuli wpisanej w ten ostrosłup?

Jednak się pomyliłem - jak mają wspólny środek, to suma promieni daje wysokość.



A jeżeli chodzi o wyliczenie promienia - korzystasz z tw. Pitagorasa dla trójkąta na rysunku zaznaczonego na czerwono. Jedyny odcinek, którego długość musisz znaleźć to część wysokości ściany bocznej. Możesz go wyliczyć odejmując od całości wysokości ten czarny odcinek. Wydaje mi się, że on będzie miał długość \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{6}}\) (1/3 wysokości podstawy). Wynika to z tego, że czworokąt (zielony) ma 2 kąty proste i 2 takie same boki. Po narysowaniu jednej przekątnej otrzymujemy 2 trójkąty równoramienne.

Rysunek:

Jest to przekrój przechodzący przez wysokość podstawy, wysokość ściany bocznej i przez krawędź boczną.
(licząc od dołu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara)
Przyjąłem \(\displaystyle{ h}\) za wysokość podstawy, a \(\displaystyle{ H}\) za wysokość ściany bocznej.
Liczę wysokość ściany bocznej: \(\displaystyle{ a^{2} + \left( \frac{a \sqrt{3} }{6} \right)^{2} = H^{2} \Rightarrow H= \frac{a \sqrt{39} }{6}}\)
Licząc promień kuli wpisanej w ten ostrosłup korzystam z Twierdzenia Pitagorasa.
\(\displaystyle{ r^{2} + \left( \frac{a \sqrt{39} }{6}- \frac{a \sqrt{3} }{6} \right) ^{2} = \left( a-r\right) ^{2}}\)
Czy jest to poprawna droga?

EDIT już znalazłem swój błąd - okazało się, że źle wysokość liczyłem, przez co reszta wychodziła źle...

Można znaleźć promień kuli wpisanej, licząc objętość ostrosłupa dwoma sposobami. Sposób jest analogiczny do liczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt.