Matematyka.pl

Cześć,

Rozwiązuje takie zadanie:

Mamy stożek gdzie promień podstawy równy jest 6, kąt między tworzącą,a podstawą to 15 stopni i do obliczenia jest odległość środka tej podstawy od środka kuli opisanej na stożku.

Stwierdziłem że mam tr. równoramienny o bokach \(\displaystyle{ l,l,12}\) i kątach \(\displaystyle{ 15,15,150}\) (gdzie R kuli zbiegają się jednym miejscu na wysokości tego trójkąta) i wykorzystując tw. cosinusów dostałem \(\displaystyle{ l= 12 \sqrt{2+ \sqrt{3} }}\), potem Pitagorasem doszedłem do \(\displaystyle{ h=6 \sqrt{7-4 \sqrt{3} }}\). Teraz nie wiem jak to ruszyć, może jakies podobieństwo trójkątów czy coś? Jeśli to nie kłopot to przydałoby się również sprawdzenie moich obliczeń.

Możesz obliczyć R (promień kuli opisanej) z tw. pitagorasa:
\(\displaystyle{ r ^{2} +(h-R) ^{2}=R ^{2}}\), gdzie r to promień podstawy stożka.
Wtedy odległość środka podstawy od środka kuli będzie równa \(\displaystyle{ h-R}\).

Ok, pojawia się jednak pewien problem: nie znam R. Co prawda można by to ominąć zwyczajnie podstawiając za h i rozwijając \(\displaystyle{ (h-R) ^{2}}\) i następnie redukując \(\displaystyle{ R^{2}}\) po obu stronach równania, ale wtedy dostaje jakieś astronomiczne i skomplikowane wartości podczas, gdy wynik jest bardzo prosty:\(\displaystyle{ \frac{3}{8}(26 \sqrt{3} - 45)}\). Jakieś pomysły?

Wychodzi \(\displaystyle{ R=24}\).
Po skróceniu \(\displaystyle{ R ^{2}}\) przenieś \(\displaystyle{ R}\) na jedną stronę, a resztę na drugą i potem podnieś obie strony do kwadratu. \(\displaystyle{ 7-4 \sqrt{3}}\) się skróci.

Ok, przeliczyłem wszystko, zastosowałem Twoje wskazówki i wyszło.
Dzięki za pomoc.