Matematyka.pl

Dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ m,n,k}\) jeżeli iloczyn \(\displaystyle{ mnk}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ d^{2}}\) , to co najmniej jeden z czynników \(\displaystyle{ m,n,k}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ d}\). Dla których liczb naturalnych \(\displaystyle{ d}\) powyższe zdanie jest prawdziwe ?

Rozpisałam sobie jedynie :

\(\displaystyle{ d^{2} |mnk \Rightarrow d|m \lor d|n \lor d|k}\)

Dla liczb pierwszych.

a coś więcej, dlaczego tak ?
Mam tutaj odpowiedź, że dla kwadratów tak, ale nie dla potęg trzecich.

To była intuicyjna odpowiedź, bo pomyślałem sobie tak:

Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie liczbą złożoną, taką ze jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych \(\displaystyle{ e}\) i \(\displaystyle{ f}\).
Wtedy możliwa jest sytuacja, że: \(\displaystyle{ m}\) jest podzielna przez kwadrat liczby \(\displaystyle{ e}\) , a \(\displaystyle{ n}\) jest podzielny przez kwadrat liczby \(\displaystyle{ f}\), więc teza nie bedzie spełniona.


Edit:
Liczba \(\displaystyle{ d}\) może być także kwadratem liczby pierwszej (\(\displaystyle{ d=p^2}\)). Wtedy jeśli iloczyn \(\displaystyle{ kmn}\) dzieli się przez kwadrat \(\displaystyle{ d}\) to jeden z czynników tego iloczynu musi zawierać co najmniej dwa czynniki \(\displaystyle{ p}\) co daje liczbę \(\displaystyle{ d}\) .

I jeszcze \(\displaystyle{ 1}\)

Znalazłem bardzo podobne zadania z którymi nie potrafię sobie poradzić, a więc:

Dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ m, n, k}\), jeżeli iloczyn \(\displaystyle{ mnk}\) jest
podzielny przez \(\displaystyle{ D}\), to co najmniej jeden z czynników \(\displaystyle{ m, n, k}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ d}\). Dla podanej liczby \(\displaystyle{ }\) wskazać największa liczbę całkowita dodatnia\(\displaystyle{ d}\), dla której powyzsze
zdanie jest prawdziwe.
\(\displaystyle{ a) D=2^{3} \cdot 3^{2}, d=......................... ;\\
b) D=2^{4} \cdot 3^{3}, d=......................... ;\\
c) D=2^{9} \cdot 3^{4}, d=......................... ;\\
d) D=2^{11} \cdot 3^{7}, d=......................... .}\)

I drugie:
Wskazać najmniejsza (o ile taka w ogóle istnieje) liczbę naturalna \(\displaystyle{ k}\), dla której
podane wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ m, n}\) i (ewentualnie) \(\displaystyle{ r}\).
\(\displaystyle{ a) 3^{k}|mn) \Rightarrow (3^{3}|m \vee 3^{3}|n) \\
b) 5^{k}|mn) \Rightarrow (5^{2}|m \vee 5^{7}|n)\\
c) 7^{k}|mnr) \Rightarrow (7^{5}|m \vee 7^{3}|n \vee 7^{12}|r)\\
d) 4^{k}|mnr) \Rightarrow (4^{5}|m \vee 4^{3}|n \vee 4^{12}|r)\\
e) 6^{k}|mnr) \Rightarrow (6^{5}|m \vee 6^{3}|n \vee 6^{12}|r)}\)

Jeżeli chodzi o zadanie pierwsze to potrafię rozwiązać podobne wynikanie dla dwóch liczb, rozpisuję wtedy wszystkie opcję w ten sposób:
Dla \(\displaystyle{ n= 3^{5}\cdot 5^{3}}\), \(\displaystyle{ n ||mn \Rightarrow d|n \vee d|m}\)
\(\displaystyle{ 1, 3^{5}\cdot 5^{3} \\
3, 3^{4}\cdot 5^{3} \\
3^{2}, 3^{3}\cdot 5^{3} \\
3^{3}, 3^{2}\cdot 5^{3} \\
3^{4}, 3\cdot 5^{3} \\
3^{5}, 5^{3} \\}\)

\(\displaystyle{ 1, 5^{3}\cdot 3^{5} \\
5, 5^{2}\cdot 3^{5} \\
5^{2}, 3^{3}\cdot 3^{5} \\
5^{3}, 3^{2}\cdot 3^{5} \\}\)

Gdzie podane liczby to m,n. Dopiero po taki rozpisaniu widzę, że największą liczbą całkowitą \(\displaystyle{ d}\) jest 2\(\displaystyle{ 7}\). Dla 3 nie wiem jak zacząć być może powinienem jeszcze raz powtórzyć sobie pewne podstawy.
Jeżeli chodzi o zadanie drugie, to sytuacja dla mnie jest bardziej skomplikowana, gdyż jedynie w przypadku \(\displaystyle{ a)}\) mogę zgadywać, że to \(\displaystyle{ k=6}\), a w \(\displaystyle{ b) k=9.}\) Jednak takie zgadywanie nie ma sensu.

W pierwszym spróbuj może czy coś takiego zadziała:
Jeżeli mamy iloczyn \(\displaystyle{ k}\) czynników podzielny przez \(\displaystyle{ D=\prod_{i=1}^{\infty}p_i^{\alpha_i}}\) (gdzie \(\displaystyle{ p_i}\) - i-ta liczba pierwsza), to \(\displaystyle{ d_{max}=\max\left\{p_i^{\lceil\frac{\alpha_i}{k}\rceil}\right\}}\).
W drugim odpowiedz na pytanie, jaki jest największy wykładnik (czyli suma wykładników w poszczególnych podzielnościach), który nie zadziała (tzn. gdy żadna z podzielności nie będzie zachodzić) i powiększ go o jeden, ponieważ wystarczy, że jedna podzielność będzie prawdziwa. Dwa pierwsze przykłady można rozpisać, żeby wychwycić prawidłowość. Jakie liczby są w podstawach w a)-c), a jakie w d) oraz e)? Co najpierw trzeba zrobić w d)? Czy to samo uda się w e)?

bosa_Nike pisze:W pierwszym spróbuj może czy coś takiego zadziała:
Jeżeli mamy iloczyn \(\displaystyle{ k}\) czynników podzielny przez \(\displaystyle{ D=\prod_{i=1}^{\infty}p_i^{\alpha_i}}\) (gdzie \(\displaystyle{ p_i}\) - i-ta liczba pierwsza), to \(\displaystyle{ d_{max}=\max\left\{p_i^{\lceil\frac{\alpha_i}{k}\rceil}\right\}}\).

Wygląda strasznie. Zadania dr. Wróblewskiego nie wymagają takich wzorów.

Wystarczy pokombinować. Np. w a) iloczyn trzech liczb dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^3\cdot 3^2}\). Wtedy na pewno jedna z liczb dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\). Co więcej, na pewno jedna dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). Czy któraś musi dzielić się przez \(\displaystyle{ 4}\)? Nie, bo może być \(\displaystyle{ 6\cdot 6\cdot 2}\). A może musi dzielić się przez \(\displaystyle{ 6}\)? Nie, bo może być \(\displaystyle{ 9\cdot 8\cdot 1}\). To w zasadzie powinno przekonać nas, że poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ d=3}\).

JK

Hmm, tak - taki jest efekt dążeń do uogólnienia. Teraz pytanie brzmi: czy formuła jest "brzydka, ale z dobrym sercem", czy "kompletnie nieudaczna"?

Szczerze? Wygląda tak odstręczająco, że nie chce mi się sprawdzać...

JK

OK, mnie się (wyjątkowo) chce. Sprawdzimy, czy choć w tym zadaniu zadziała.

Mamy tutaj \(\displaystyle{ k=3}\) i oczywiście dla \(\displaystyle{ i\ge 3}\) mamy \(\displaystyle{ \alpha_i=0}\):

a) \(\displaystyle{ d_{max}=\max\left\{2^{\lceil\frac{3}{3}\rceil},3^{\lceil\frac{2}{3}\rceil}\right\}=3}\)

b) \(\displaystyle{ d_{max}=\max\left\{2^{\lceil\frac{4}{3}\rceil},3^{\lceil\frac{3}{3}\rceil}\right\}=2^2}\)

c) \(\displaystyle{ d_{max}=\max\left\{2^{\lceil\frac{9}{3}\rceil},3^{\lceil\frac{4}{3}\rceil}\right\}=3^2}\)

d) \(\displaystyle{ d_{max}=\max\left\{2^{\lceil\frac{11}{3}\rceil},3^{\lceil\frac{7}{3}\rceil}\right\}=3^3}\)

Czy można przyjąć, że "paskudna, ale czasem ugotuje"? Pozostaje jeszcze sprawdzić, dlaczego i co to znaczy "czasem".

Formuła jest w porządku, ale rodzi pokusy używania bez zrozumienia...

Wyrażenie \(\displaystyle{ p_i^{\lceil\frac{\alpha_i}{k}\rceil}}\) mówi, że rozkładamy \(\displaystyle{ \alpha_i}\) liczb \(\displaystyle{ p_i}\) do \(\displaystyle{ k}\) szufladek i patrzymy, ile musi wpaść do przynajmniej jednej szufladki przy maksymalnie niekorzystnym (czyli maksymalnie równomiernym) rozkładzie. Do tego trzeba dołożyć spostrzeżenie, że nie ma żadnego związku pomiędzy rozkładaniem różnych liczb pierwszych (dlatego bierzemy maksimum, a nie np. iloczyn) i już mamy wynik.

JK

Jan Kraszewski pisze:Formuła jest w porządku, ale rodzi pokusy używania bez zrozumienia...

Och, tak - pełna zgoda.
To właściwie powinien być wynik przemyśleń nad zadaniem. W tę stronę to szło u mnie...

W ogóle, to czasem naprawdę brak mi możliwości przyznawania punktów reputacji w nie swoim temacie.

Dzięki za pomoc , udało mi się zrobić 1 zadanko. Jeżeli chodzi o drugie to moje wyniki są następujące
\(\displaystyle{ a)5, b)13, c)33, d)32}\) zamieniłem \(\displaystyle{ 4^{k}}\) na \(\displaystyle{ 2^{2k}}\), e) zacznę robić jutro z rana pewnie . Mam nadzieję, że już dobrze podchodzę do tego typu problemów.

wallace pisze:Jeżeli chodzi o drugie to moje wyniki są następujące
\(\displaystyle{ a)5, b)13, c)33, d)32}\) zamieniłem \(\displaystyle{ 4^{k}}\) na \(\displaystyle{ 2^{2k}}\),

a) dobrze
b) źle
c) źle
d) źle
W przykładach b) - d) automatycznie przeniosłeś metodę z a), co świadczy o braku zrozumienia sytuacji.

JK