Matematyka.pl

Cześć. Mam takie zadanie: zbadać istnienie granicy \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\ln x}{\ln y}}\).
Chciałbym się dowiedzieć, czy moje rozwiązanie jest poprawne, a jeśli nie, to jak należy to inaczej rozwiązać. Oto moje rozwiązanie:

Liczę najpierw granice iterowane.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}(\lim_{y\to 0}\frac{\ln x}{\ln y}) = \lim_{x\to 0}(\lim_{y\to 0}\frac{\ln x}{-\infty}) = \lim_{x\to 0}0 = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}(\lim_{x\to 0}\frac{\ln x}{\ln y}) = \lim_{y\to 0}(\lim_{x\to 0}\frac{-\infty}{\ln y}) = \lim_{y\to 0}-\infty = -\infty}\)

Granice iterowane są różne, a zatem granica funkcji nie istnieje.

Przez szacowanie:
\(\displaystyle{ 0\leq \left| \frac{\ln x}{\ln y}\right|\leq \left|\frac{x}{\ln x} \right|\overset{(x,y)\longrightarrow(0,0)}{\longrightarrow} 0}\)

Z twierdzenia o trzech ciągach badana granica jest równa zero.

artam skąd wzięłaś takie szacowanie?

luski wydaje mi się, że Twój pomysł jest dobry, tzn istnienie i równość obu granic iterowanych jest koniecznym warunkiem istnienia granicy podwójnej funkcji dwóch zmiennych, a tutaj ten warunek spełniony być nie może... tylko co oznacza zapis:
\(\displaystyle{ \lim_{y\to 0} -\infty}\)


A inaczej, to można wziąć takie ciągi zbieżne do zera:
\(\displaystyle{ a_{n} = e^{-n}\\
b_{n} = \tfrac{1}{n}}\)
i pokazać, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{\ln a_{n}}{\ln b_{n}}\neq \lim_{n\to }\frac{\ln b_{n}}{\ln a_{n}}}\)

Sorki, machnęłam się w zapisie, w mianowniku powinien być \(\displaystyle{ \ln y}\). A szacowanie w liczniku z powszechnie znanej nierówności:
\(\displaystyle{ \ln x\leq x-1\leq x}\)

Poprawcie mnie, jeśli się mylę - ale \(\displaystyle{ \underset{ y\longrightarrow 0}{\underset{x\longrightarrow 0}{\lim}}\frac{x}{\ln y}=0}\)

artam - granica:
\(\displaystyle{ \lim_{\substack{x \to 0\\y\to 0}}\frac{x}{\ln y}}\)
nie istnieje...