Matematyka.pl

Witam,

mam do policzenia następującą całkę podwójną po obszarze D:

\(\displaystyle{ \int \int_{D}|2x-y|dxdy}\), \(\displaystyle{ D=\{(x,y)\in\rr^2: x\ge 0 \wedge 0 \le y \le 5-3x \}}\)

Jeśli zapiszę to w postaci iterowanej otrzymam:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{+ \infty}( \int_{0}^{5-3x}|2x-y|dy)dx}\)

Wiem, że w przypadku, gdy pod znakiem całki mamy wartość bezwzględną, trzeba rozpatrzyć dwa przypadki:
1. kiedy wyrażenie w wartości bezwzględnej jest mniejsze od 0
2. kiedy wyrażenie w wartości bezwzględnej jest większe bądź równe 0.

Pomimo, że to wiem, trochę tutaj stanąłem i nie wiem jak to do końca zrobić oraz zastanawia mnie ta nieskończoność przy całce względem x. Podpowiecie jak to dalej ruszyć?

Na pewno górną granicą nie będzie nieskończoność. Narysuj proszę obszar po którym całkujesz i zauważ, że jest to trójkąt.

Faktycznie, moje niedopatrzenie. Poprawiłem to i mam teraz coś takiego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac {3}{5}}( \int_{0}^{5-3x}|2x-y|dy)dx}\)

Tylko teraz pojawia się pytanie jak rozpatrzeć te przedziały, dla których wnętrze wartości bezwzględnej ma różny znak?

Dodaj do tego rysunku linię \(\displaystyle{ y=2x}\). Rozdziela obszar całkowania na dwie części: jedna część, poniżej tej linii, to obszar w którym \(\displaystyle{ y < 2x \iff 2x - y > 0}\) (co to oznacza w kontekście wartości bezględnej)?

Nie wiem czy dobrze rozumuję, ale otrzymam dwa obszary i granice całkowania po iksie będę miał różne dla dwu tych przedziałów?

Zgadza się, to będą dwa obszary. Granice całkowania po igreku również ulegną zmianie.

Dzięki wielkie za pomoc. Rozwiązałem wszystko.