Zbieżność i suma szeregu

[radeck0]

Mógłbym prosić o pomoc, trochę dłuższe rozpisanie poniższych zadań? Chciałbym mieć parę przykładów "jak robić" takie zadania.

Zbadaj zbieżność szeregów:
a)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+\frac{1333}{n}}}\)
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2014n-2n^{\frac{2}{3}}} + \frac{(-1)^n}{n+\frac{1333}{n}}\right)}\)


Znajdź granicę ciągu \(\displaystyle{ \{a_n\}_{n \ge 1}}\) zadanego wzorem \(\displaystyle{ a_n = \left(1- \sqrt[n]{\frac{1}{4^n} + \frac{n}{7^n}} \right)^n}\) lub wykaż, że granica nie istnieje.

Rozważamy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{\left(3+(-1)^n\right)^n}}\)
a) Znajdz sumę, jeżeli istnieje.
b) Znajdź \(\displaystyle{ sup\{S_n : n \ge 0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \{S_n\}_{n \ge 0}}\) jest ciągiem sum częściowych tego szeregu.



Wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ \{r_n\}_{n \ge 0}}\) są w przedziale \(\displaystyle{ [-10;10]}\). Rozważamy ciąg \(\displaystyle{ \{a_n\}_{n \ge 0}}\) zadany rekurencyjnie wzorami:

\(\displaystyle{ a_0 = 700}\), \(\displaystyle{ a_{n+1} = 4a_n + r_n}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 0}\)

a) Udowodnij istnienie tkiej liczby \(\displaystyle{ C > 0}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ |a_n| \le C \cdot (4,1)^n}\) Wskaż pewne takie \(\displaystyle{ C}\)
b) Znajdź granicę ciagu zadanego wzorem \(\displaystyle{ \frac{a_n + (4,2)^n}{(4,2)^n - n^{40}4^n}}\)-- 12 gru 2014, o 01:35 --Wpadłem na parę pomysłów.

1. a)

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = ... = \frac{-n-\frac{1333}{n}}{n+1+\frac{1333}{n+1}} < 1}\)
Zatem jest rozbieżny.

Granica ciągu w drugim, twierdzenie o 3 ciągach:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{1}{4^n} + \frac{n}{7^n}} \le \sqrt[n]{\frac{1}{4^n} + \frac{n}{4^n}} \le \sqrt[n]{\frac{1+n}{4^n}} \le \sqrt[n]{\frac{2n}{8n}} \le \sqrt[n]{(\frac{1}{4})^n} = \frac{1}{4}}\)

Zatem dostaniemy taki \(\displaystyle{ b_n = \left( 1 - \frac{1}{4}\right)^n = (\frac{3}{4})^n \rightarrow 0}\)

teraz drugi ciąg:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{1}{4^n} + \frac{n}{7^n}} \ge \sqrt[n]{\frac{1}{4^n}} = \sqrt[n]{(\frac{1}{4})^n} = \frac{1}{4}}\)

I analogicznie jak wyżej, z tym, że ten ciąg będzie mniejszy. Ma to sens?

[Astose]

Widze kolega pisal dzisiaj kolokwium z analizy na mimie
Moge poradzic kilka hintow, bo jezeli chcesz za te zadania zabrac sie bez uprzedniego przygotowania z jakimikolwiek zadaniami z szeregow/ciagow to tego nie zrobisz.
1 a) Skorzystaj z kryteirum Leibniza
1 b) Skorzystaj z a) i rozbij szereg na 2 sumy. Jedna z nich to szereg a) wiec jezeli jest zbiezny, to pozostaje nam sprawdzenie zbieznosci drugiej sumy
2. Nalezy skorzystac z tego, ze \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x^{n} = \begin{cases} \infty \text{ dla } x>1 \\ 1 \text{ dla } x = 1 \\ 0 \text{ dla } 0 < x < 1 \end{cases}}\), a potem sprawdzenie granicy wyrazu pod potega
3. Najlepszy sposob to rozbicie tego szeregu na szereg liczb parzystych i szereg liczb nieparzystych. Nastepnie zauwazasz, ze sa to szeregi geometryczne i w jakis sposob musisz obliczyc ich sume. (hint: wzor na sume ciagu geometrycznego).
Z tego wyzej wyjdzie ci wzor na dowolny \(\displaystyle{ S_{n}}\), sprawdzasz czy jest monotoniczny, obliczasz pierwsze kilka wyrazow i znajdujesz supremum.
4. a) zauwaz, ze wyrazy \(\displaystyle{ r_{n} \in [-10; 10]}\), wiec mozemy ograniczyc ten ciag z prawej i lewej strony przez ciagi \(\displaystyle{ b_{n} = 690\cdot4^{n}}\) i \(\displaystyle{ c_{n} = 710\cdot4^{n}}\). Mozna to wykorzystac przy obliczaniu granicy

EDIT 0:44
Twoje rozumowanie w badaniu zbieznosci 1a) jest bledne. Pamietaj ze masz tam \(\displaystyle{ (-1)^{n}}\), a to moze byc albo ujemne albo dodatnie na przemian. Badanie d'Alembertem jest tutaj calkowicie zlym pomyslem (W dodatku zle zaaplikowanym, powinien byc modul w \(\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}\). Do tego typu szeregow korzystamy z kryterium Leibniza.

Odnosnie obliczania tamtej granicy - jest to poprawne, aczkolwiek najbezpieczniej byloby napisac ze wystarczy zbadac granice pod potega.

[radeck0]

Nie, jestem na innej uczelni, ale dostaję od kumpla wszelakie zadania z MIMu. Niestety porównując nasz poziom, z Mimem...

Ale pomimo tego, że w drugim zadaniu, zrobiłem to inaczej, to chyba powinno być również poprawnie?

[Astose]

Zawsze sa to jakies dodatkowe zadanka ;p

Wykorzystanie twierdzenia o trzech ciagach zostalo zaaplikowane przez ciebie poprawnie, ale powinienes napisac dlaczego to robisz jeszcze przed zaczeciem proby obliczenia tej granicy (czyli to o czym wyzej napisalem).

Edit 01:46
Aczkolwiek teraz jak na to dokladniej spojrzalem to mozliwe ze bys dostal maksa za to, ale brakuje mi tylko wytlumaczenia dlaczego wlasnie tak a nie inaczej.

[radeck0]

No chcę się przenieść na mim, dlatego to już mój nie pierwszy (i na pewno nie ostatni) post na tym forum. Będę upierdliwy do bólu, ale zależy mi na własnych umiejętnościach.

Co do 1 to w sumie masz rację, nie pomyślałem o Leibnizu.

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+\frac{1333}{n}} \rightarrow 0}\) oraz nie jest rosnący, bo każdy kolejny wyraz będzie mniejszy od poprzedniego. Zatem nasz szereg jest zbieżny. Mam rację?
I jak podciągnąć to teraz do b)?

[Snayk]

Ano tak, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty } (a_{n}+b_{n})=\sum_{i=1}^{ \infty } a_{n} + \sum_{i=1}^{ \infty } b_{n}}\)

[radeck0]

Snayk, no tak wiem, zastanawiałem się tylko w jaki sposób sprawdzić pierwszą część. Ale z tym sobie już poradziłem.

Co do 3, kolega wspominał o rozbiciu tego szeregu na dwa - z wyrazami parzystymi i nieparzystymi. Rozumiem, że zatem mają być z \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ 2n}\). Ale w jaki sposób?

[Snayk]

Wzór ogólny szeregu jest \(\displaystyle{ a_{n}}\), a Ciebie interesują podciągi dla n parzystych i nieparzystych. Więc zsumuj raz dla \(\displaystyle{ a_{2n}}\), a raz dla \(\displaystyle{ a_{2n+1}}\),
czyli weź \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_{2n}=\sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^{2n} \frac{1}{\left(3+(-1)^{2n}\right)^{2n}}=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{4^{2n}}}\)

[radeck0]

Okej, czyli w drugim przypadku mamy

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{2n+1} \frac{1}{(3-1)^{2n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} - \frac{1}{2^{2n+1}}}\)
tak?

Wiemy, że to ciąg geometryczny, a wzór na sumę nieskończonego ciągu geo
\(\displaystyle{ S = \frac{a_1}{1-q}}\)

\(\displaystyle{ S = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{1}{3}}\)


Dla drugiego:
\(\displaystyle{ S = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1}\)

Zatem suma całego szeregu, powinna być równa sumie tego, tak?

Zatem

\(\displaystyle{ -\frac{1}{3}-1 = -1\frac{1}{3}}\)

Mam rację? I co z ostatnim zadaniem?

[Jarmil]

Wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ \{r_n\}_{n \ge 0}}\) są w przedziale [-10;10]. Rozważamy ciąg \(\displaystyle{ \{a_n\}_{n \ge 0}}\) zadany rekurencyjnie wzorami:

\(\displaystyle{ a_0 = 700, a_{n+1} = 4a_n + r_n dla n \ge 0}\)

a) Udowodnij istnienie tkiej liczby C > 0, że dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge 0}\) zachodzi\(\displaystyle{ |a_n| \le C \cdot (4,1)^n}\)Wskaż pewne takie C
b) Znajdź granicę ciagu zadanego wzorem \(\displaystyle{ \frac{a_n + (4,2)^n}{(4,2)^n - n^{40}4^n}}\)

4. a) zauwaz, ze wyrazy \(\displaystyle{ r_{n} \in [-10; 10]}\), wiec mozemy ograniczyc ten ciag z prawej i lewej strony przez ciagi\(\displaystyle{ b_{n} = 690\cdot4^{n}}\) i \(\displaystyle{ c_{n} = 710\cdot4^{n}}\). Mozna to wykorzystac przy obliczaniu granicy

Astose źle zrozumiałeś polecenie, napisane jest że każdy element \(\displaystyle{ r_{n}}\) mieści się w przedziale \(\displaystyle{ \in [-10; 10]}\), nic więcej o tym ciągu nie wiadomo, i nic więcej nie trzeba o nim wiedzieć. Ponieważ wyrażenie z C ma być większe bądź równe, dlatego wystarczy rozpatrzyć jeden skrajny przypadek, w tej rekurencji będziemy mieli zawsze c*(a+b) gdzie a jest znacząco większe od b z tego wynika że każdy element ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) jest dodatnią liczbą niezależnie od tego czy przyjmiemy że każdy element ciągu \(\displaystyle{ r_n}\) to -10 czy 10. Z tego też wiadomo że najwyższe wartości ciąg będzie osiągał dla przypadku gdy r_n=10. Teraz jeśli dla tego skrajnego przypadku pokażemy że istnieje taka stała C która spełniałaby nierówność z części a) zadania, to będzie to prawdziwe dla każdego innego ciągu różniącego się jedynie r_n. Czyli zakładamy że r_n jest zawsze równe 10 i tworzymy nowy ciąg który będzie większy bądź równy od ciągu bazowego:

\(\displaystyle{ r_n=10}\)
\(\displaystyle{ b_0=a_0 = 700, b_{n+1} = 4b_n + 10}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 0}\)
\(\displaystyle{ b_n>=a_n}\) dla każdego n

Wzór na n-ty element ciągu b_n:

\(\displaystyle{ b_n =4^na_0 + 10\sum_{k=0}^{n} 4^k =4^n (a_0+ 40/3)-10/3}\)

Teraz wstawiamy to do nierówności, ponieważ ciąg a_n i b_n są zawsze dodatnie więc można pominąć wartość bezwzględną:
\(\displaystyle{ |a_n| \le C \cdot (4,1)^n}\)
\(\displaystyle{ 4^n (a_0+ 40/3)-10/3 \le C \cdot (4,1)^n}\)
\(\displaystyle{ (4/4.1)^n (700+ 40/3)-10/(3(4.1)^n) \le C \cdot}\)

Ponieważ obie funkcje są wykładnicze to wystarczy sprawdzić skrajne przypadki, najpierw gdy n dąży do nieskończoności, sprawdzimy czy z lewej strony istnieje granica, widać że lewa strona zmierza wtedy do 0, a więc wiadomo że taka stała istnieje. Teraz pierwszy przypadek dla n=0 :
\(\displaystyle{ (4/4.1)^0 (700+ 40/3)-10/(3(4.1)^0) \le C \cdot}\)
\(\displaystyle{ 710 \le C \cdot}\)
Tak więc stała istnieje i wynosi C>=710, część b) zadania wystarczy wyciągnąć \(\displaystyle{ (4.2)^n}\) z góry i z dołu i granica wyjdzie 1 ?

[Astose]

Prawda ze nic wiecej nie wiadomo o ciagu \(\displaystyle{ r_{n}}\), ale wiadomo, ze jakis ciag np okreslony w sposob nastepujacy:
\(\displaystyle{ d_{0} = 700}\)
\(\displaystyle{ d_{n+1} = 4\cdot d_{n} + 10}\)
Co jest wieksze od ciagu \(\displaystyle{ \left|a_{n}\right|}\), a jednoczesnie mniejsze od tego \(\displaystyle{ C\cdot\left(4.1\right)^{n}}\).
Jednoczesnie ciag \(\displaystyle{ \left(0.1\right) \cdot 700 = 70 > 10}\), wiec dla np C = 700, nierownosc zachodzi.

Odnosnie tamtego szeregu
\(\displaystyle{ S_{N}=\sum_{n=0}^{N}\left(-1\right)^{n} \frac{1}{\left(3+\left(-1\right)^{n}\right)^n}
=\sum_{n=0}^{N}\left(-1\right)^{2n} \frac{1}{\left(3+\left(-1\right)^{2n}\right)^{2n}}
+\sum_{n=0}^{N}\left(-1\right)^{2n+1} \frac{1}{\left(3+\left(-1\right)^{2n+1}\right)^{2n+1}}=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=0}^{N} \frac{1}{\left(3+1\right)^{2n}}
-\sum_{n=0}^{N} \frac{1}{\left(3-1\right)^{2n+1}}=
\sum_{n=0}^{N} \frac{1}{\left(4\right)^{2n}}
-\sum_{n=0}^{N} \frac{1}{\left(2\right)^{2n+1}}=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=0}^{N} \left(\frac{1}{4}\right)^{2n}
-\sum_{n=0}^{N} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}
=\sum_{n=0}^{N} \left(\frac{1}{16}\right)^{n}
- \frac{1}{2} \cdot \sum_{n=0}^{N} \left(\frac{1}{4}\right)^{n}=}\)
\(\displaystyle{ =1+\sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{16}\right)^{n}
- \frac{1}{2} \cdot \left(1+\sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =1+\left(\frac{1}{16}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{16}\right)^{N-1}}{1-\left(\frac{1}{16}\right)}\right)
- \frac{1}{2} \cdot \left(1+\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{N-1}}{1-\left(\frac{1}{4}\right)} \right)\right)=}\)
\(\displaystyle{ =1+\frac{1-\left(\frac{1}{16}\right)^{N-1}}{15}
-\frac{1}{2}\cdot\left(1+\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{N-1}}{3}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{16-\left(\frac{1}{16}\right)^{N-1}}{15}
- \frac{4-\left(\frac{1}{4}\right)^{N-1}}{6}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{32-2\cdot\left(\frac{1}{16}\right)^{N-1}}{30}-\frac{20-5\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{N-1}}{30}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{12-2\cdot\left(\frac{1}{16}\right)^{N-1}+5\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{N-1}}{30}=\frac{12+5\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{N-1}-2\cdot\left(\frac{1}{16}\right)^{N-1}}{30}=S_{N}}\)
i po dlugich obliczeniach otrzymujemy wzor na N-ta sume czesciowa. W przypadku obliczenia tego szeregu, obliczamy granice:
\(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty} S_{N} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}}\)
Wzor ten dziala dla \(\displaystyle{ N > 0}\), wiec musimy obliczyc \(\displaystyle{ S_{0}=1}\) korzystajac ze wzoru na szereg. Nastepne wyrazy sa mniejsze od 1, zatem kresem gornym tego zbioru jest 1.

[Jarmil]

Prawda ze nic wiecej nie wiadomo o ciagu r_{n}, ale wiadomo, ze jakis ciag np okreslony w sposob nastepujacy:
\(\displaystyle{ d_{0} = 700}\)
\(\displaystyle{ d_{n+1} = 4\cdot d_{n} + 10}\)
Co jest wieksze od ciagu \(\displaystyle{ \left|a_{n}\right|}\), a jednoczesnie mniejsze od tego \(\displaystyle{ C\cdot\left(4.1\right)^{n}}\).
Jednoczesnie ciag \(\displaystyle{ \left(0.1\right) \cdot 700 = 70 > 10}\), wiec dla np \(\displaystyle{ C = 700}\), nierownosc zachodzi.

Nie zachodzi, ponieważ nierówność musi być prawdziwa dla każdego n, wstaw sobie n=0

[Astose]

\(\displaystyle{ a_{0} = 700 = 700 \cdot \left(4.1\right)^{0} = 700}\)
wiec zachodzi, nie wiem co ma byc zle ;o

[Jarmil]

Masz nierówność :
\(\displaystyle{ (4/4.1)^n (700+ 40/3)-10/(3(4.1)^n) \le C \cdot}\)

Gdzie z lewej strony masz prawidłowy wzór na n-ty element tamtej rekurencyjnej funkcji.

-- 12 gru 2014, o 18:26 --

Sory:

\(\displaystyle{ (4)^n (700+ 40/3)-10/3 \le C(4.1)^n \cdot}\)

[Astose]

To w takim razie wyprowadzony przez ciebie wzor jest bledny, bo dla n = 0 nierownosc zachodzi, chocby ze wzoru rekurencyjnego..