Podaj granicę ciągu

[Thuddy]

Witam, ostatnio na kolokwium z matematyki trafił mi się taki przykład i nie wiedziałem jak go rozwiazać:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ 2^{n}+ 5^{n} + 7^{n} }}\)
Należy tutaj wykorzystać twierdzenie o 3 ciągach?

[bartek118]

Zgadza się; z jednej strony szacujesz przez \(\displaystyle{ 7}\), a z drugiej tak, aby w granicy \(\displaystyle{ 7}\) otrzymać.

[Thuddy]

No to pierwszy ciag byłby taki:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ 7^{n} }}\) i jego granica to\(\displaystyle{ 7}\) a drugi:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{7^{n} +7^{n}+7^{n}}}\) a jego granica to też \(\displaystyle{ 7}\)?

[bakala12]

Tak jest

[Thuddy]

A jak rozwiązać coś takiego?
\(\displaystyle{ \sqrt{n}\left( \sqrt{n+1}- \sqrt{n} \right)}\)
Doprowadziłem to do takiej postaci:

\(\displaystyle{ \sqrt{n}\left( \frac{n+1-n}{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n} } \right)}\)
a dalej do \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{n}{2n+1} }}\) Co dalej?

[piasek101]

Z| drugiej linijki wyjmij \(\displaystyle{ \sqrt n}\) przed nawias z mianownika.

[Thuddy]

Tzn? Mógłbyś to rozpisać? Bo nie rozumiem, jak miałoby to wyglądać.

[piasek101]

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt n}{\sqrt n \left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}}\)

[Thuddy]

I dalej jak należy to rozwiązać?

[Jakuss]

Skracasz przez \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) i w granicy wychodzi 0.

[rafalpw]

Nie wychodzi \(\displaystyle{ 0}\) .

[Jakuss]

Mój błąd, miało być \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ja chyba już śpię

[Thuddy]

Robiąc moim sposobem nie dałoby się dojść do tego samego? Wydaje mi się że wszystkie przekształcenia są poprawne.

[miodzio1988]

Twoje przeksztalcenie nie jest poprawne, od tego warto zacząc

[Astose]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt{ \frac{n}{2n+1} }=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n+1}}
=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{2+\frac{1}{n}}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{2+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
... co jest bledne.
Zrobiles zle obliczenia przy przeksztalceniu