Matematyka.pl

Okręgi Carlyle'a są obiektami geometrycznymi umieszczonymi na płaszczyźnie w pewien specjalny sposób. Specyfika ta polega na powiązaniu pewnego okręgu z równaniem kwadratowym oraz jego pierwiastkami.

Załóżmy więc, że dane jest równanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ \left( 1 \right) \qquad\qquad x^2-px+q=0.}\)

Chcielibyśmy wyznaczyć graficzne rozwiązanie tego równania. Narzuca się narysowanie odpowiedniej paraboli, jednak do jej dokładnego narysowania potrzebna jest znajomość pierwiastków. Tworzy się błędne koło. Istnieje jednak metoda pozwalająca ten problem rozwiązać. Jest to metoda okręgu Carlyle'a.

Okręgiem Carlyle'a skojarzonym z równaniem \(\displaystyle{ \left( 1 \right)}\) nazywamy okrąg, którego jednym z końców średnicy tego okręgu jest punkt \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right)}\), a drugim z końców jest punkt \(\displaystyle{ \left( p,q \right)}\).
\(\displaystyle{ A=(p,q)}\). Punkt \(\displaystyle{ C}\) jest środkiem okręgu o średnicy \(\displaystyle{ AB}\).

Okrąg Carlyle'a jest wyznaczony jednoznacznie przez dane równanie. Ponadto dowolny okrąg na płaszczyźnie przechodzący przez punkt \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right)}\) wyznacza pewien okrąg Carlyle'a. Jednak najważniejszą cechą okręgu jest jej związek z równaniem \(\displaystyle{ \left( 1 \right)}\). Okazuje się bowiem, że ten okrąg o ile przecina oś \(\displaystyle{ \text{OX}}\), to przecina ją w punktach, których odcięte są rozwiązaniami równania kwadratowego. Ten zdumiewający fakt jest wykorzystywany między innymi w kostrukcjach wielokątów foremnych.




Wykażemy podstawowy fakt dotyczący okręgów Carlyle'a, wiążący go z równaniem \(\displaystyle{ (1)}\).

Środek okręgu o średnicy opartej na punktach \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right) , \left( p,q \right)}\) to punkt \(\displaystyle{ \left( \frac{p}{2},1+\frac{q-1}{2} \right)}\), a jego promień to \(\displaystyle{ \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right) ^2+ \left( \frac{q-1}{2} \right) ^2}}\) - z twierdzenia Pitagorasa.

Okrąg Carlyle'a ma zatem równanie

\(\displaystyle{ \left( 2 \right) \qquad\qquad \left( x-\frac{p}{2} \right) ^2+ \left( y- \left( 1+\frac{q-1}{2} \right) \right) ^2= \left( \frac{p}{2} \right) ^2+ \left( \frac{q-1}{2} \right) ^2}\).

Interesują nas punkty przecięcia się okręgu z osią \(\displaystyle{ \text{OX}}\). Podstawiamy zatem \(\displaystyle{ y=0}\) do równania \(\displaystyle{ \left( 2 \right)}\), otrzymując następujące:

\(\displaystyle{ \left( 3 \right) \qquad\qquad \left( x-\frac{p}{2} \right) ^2+ \left( 1+\frac{q-1}{2} \right) ^2= \left( \frac{p}{2} \right) ^2+ \left( \frac{q-1}{2} \right) ^2}\).

Po rozwinięciu kwadratów oraz uproszczeniach otrzymamy

\(\displaystyle{ \left( 4 \right) \qquad\qquad x^2-px+q=0}\),

a więc istotnie punkty przecięcia okręgu o równaniu \(\displaystyle{ \left( 2 \right)}\) z osią \(\displaystyle{ \text{OX}}\) są punktami, których odcięte spełniają równanie \(\displaystyle{ \left( 1 \right)}\).




Okręgi Carlyle'a pozwalają na konstrukcje wielokątów foremnych, takich jak pięciokąt oraz siedemnastokąt.

• Konstrukcja pięciokąta foremnego.
  Poprawność konstrukcji pięciokąta foremnego:    

  Wystarczy oczywiście skonstruować pierwiastki piątego stopnia z jedynki, tj rozwiązać równanie
  
  \(\displaystyle{ \left( 5 \right) \qquad\qquad z^5=1}\).
  
  Jednym z pierwiastków jest oczywiście \(\displaystyle{ z_0=1}\), pozostałe spełniają równanie
  
  \(\displaystyle{ \left( 6 \right) \qquad\qquad z^4+z^3+z^2+z+1=0}\)
  
  Oznaczmy te pierwiastki następująco:
  
  \(\displaystyle{ \left( 7 \right) \qquad\qquad z_k=e^{\frac{2\pi ki}{5}}\qquad k=1, 2, 3, 4.}\)
  
  Niech teraz
  
  \(\displaystyle{ \left( 8 \right) \qquad\qquad w_1:=z_1+z_4,\\
  \left( 9 \right) \qquad\qquad w_2:=z_2+z_3.}\)
  
  Mamy ponadto przez bezpośrednie sprawdzenie, że:
  
  \(\displaystyle{ \left( 10 \right) \qquad\qquad w_1+w_2=-1,\\
  \left( 11 \right) \qquad\qquad w_1w_2=-1,}\)
  
  
  Z \(\displaystyle{ \left( 10 \right) - \left( 11 \right)}\) oraz wzorów Viete'a wynika, że \(\displaystyle{ w_1}\) oraz \(\displaystyle{ w_2}\) z są rozwiązaniami równania kwadratowego
  
  \(\displaystyle{ \left( 12 \right) \qquad\qquad x^2+x-1=0}\).
  
  Wystarczy zatem skonstruować okrąg Carlyle'a o średnicy opartej na punktach \(\displaystyle{ \left( -1,-1 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right)}\). Jego środkiem jest punkt \(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2},0 \right)}\).
  
  Każde \(\displaystyle{ w_i}\) to podwojona część rzeczywista jednego z pierwiastków równania \(\displaystyle{ (6)}\) (wynika to z ich definicji). Zatem wystarczy narysować symetralne odcinków \(\displaystyle{ OW_1}\) oraz \(\displaystyle{ OW_2}\), gdzie \(\displaystyle{ O}\) jest początkiem układu, a \(\displaystyle{ W_i=(w_i,0)}\). Te symetralne
  przecinają okrąg \(\displaystyle{ |z|=1}\) czterech pierwiastkach równania \(\displaystyle{ (6)}\), a więc czterech brakujących wierzchołkach pięciokąta foremnego.
• Konstrukcja siedemnastokąta foremnego.

Uwaga: jeżeli animacja nie startuje, można przełączyć tryb wyświetlania z html na aplet javy. Opcja ta jest dostępna w napisach pod animacją. Jeżeli i ta operacja nie pomoże, należy spróbować wyświetlić na innej przeglądarce.


Powyższy artykuł jest skróconą wersją artykułu pochodzącego z Delty (tego samego autora):


http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/algebra/2015/07/22/Okregi_Carlyle_a/

Prawa autorskie wymagają, by cytując treści powyższego, cytować nadrzędnie artykuł z Delty.