Matematyka.pl

Mam zadanie i potrzebuję pomocy w rozwiązaniu, otóż:

Niech \(\displaystyle{ \mu ^{*}}\) będzie miarą zewnętrzną na \(\displaystyle{ X}\) i niech \(\displaystyle{ A \subset X}\) oraz \(\displaystyle{ B \in \mathcal{A} ( \mu ^{*})}\). Wykazać, że
\(\displaystyle{ \mu ^{*}(A \cup B) + \mu ^{*}(A \cap B) = \mu ^{*}(A) + \mu ^{*}(B)}\)

Jeśli \(\displaystyle{ B \in \mathcal{A} ( \mu ^{*})}\) to zachodzi \(\displaystyle{ \mu ^{*}(B)=0}\) lub \(\displaystyle{ \mu ^{*}(B')=0}\). Z tego wynika że \(\displaystyle{ \mu ^{*}(A \cap B)=0}\), bo \(\displaystyle{ A \cap B \subset B}\)

I co w tedy zrobić z \(\displaystyle{ \mu ^{*}(A \cup B)}\)?

Skoro \(\displaystyle{ B \in \mathcal{A} ( \mu ^{*})}\), to dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z \subset X}\) zachodzi warunek:
\(\displaystyle{ \mu ^{*}(Z) = \mu ^{*}(Z \cap B)+\mu ^{*}(Z \setminus B)}\).

Wobec tego w szczególności zachodzi dla zbiorów \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ A \cup B}\).
Rozpisz ten warunek dla tych zbiorów. Później wystarczy to podstawić