Matematyka.pl

Proszę o pomoc z tymi zadaniami. Kompletnie nie wiem jak je zrobić. Mają być chyba użyte związki między średnimi : arytmetyczną, geometryczną...

1) Udowodnij, że jeżeli a,b,c są dodatnie oraz \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d} < 2}\) , to \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2} <8}\)

2) Udowodnij, że dla dodatnich a,b,c zachodzi nierówność \(\displaystyle{ (5-a^2-b^2-c^2)abc \le 2}\)

3) Udowodnij, że jeżeli a,b,c są naturalne, większe od zera, to \(\displaystyle{ a^ab^bc^c \ge abc \frac{a+b+c}{3}}\)

Np 1)
Skorzystamy, że \(\displaystyle{ 2cd \le c^2+d^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d}<2 \iff \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2}<4}\)

\(\displaystyle{ 4 > \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2} = \frac{a^2 + 2ab+b^2}{c^2+2cd+d^2} > \frac{a^2+b^2}{c^2+c^2+d^2+d^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}}\)

A stąd
\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2} < 8}\)

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d}<2 \iff \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2}<4}\)

Nie masz racji. Co będzie, jeśli

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d}<-2}\)

Dla \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) dodatnich?

Skąd wiesz, że są dodatnie? - Zadanie tego nie określa. -- 8 gru 2014, o 00:24 --Sorry, masz rację. Nie doczytałem...

2)
Dla \(\displaystyle{ a,b,c \ge 0}\) korzystamy z AM-GM.

\(\displaystyle{ \frac{a^{3}bc+ b^{3}ac+c^{3}ab+1+1}{5} \ge \sqrt[5]{a^{5}b^{5}c^{5}}=abc}\)

Wymnażamy obie strony przez mianownik. Wyrazy z a,b,c przenosimy na drugą stronę,wyciągasz abc i koniec.

\(\displaystyle{ 2 \ge 5abc-(a^{3}bc+ b^{3}ac+c^{3}ab)=abc(5-a^{2}-b^{2}-c^{2})}\)

-- 8 gru 2014, o 02:04 --
3)

pasta36 pisze: \(\displaystyle{ a^ab^bc^c \ge abc \frac{a+b+c}{3}}\)

W 3 sugerowałbym patrzeć na jakieś przypadki. Na przykład gdy \(\displaystyle{ a,b,c \ge 2}\) to nierówność jest oczywista. Bez straty ogólności \(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\). Stąd \(\displaystyle{ c=1}\), itd. Powinno pójść.

W trzecim ta suma \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3}}\) na pewno nie miała być w wykładniku?