Bryły opisane na kuli
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 27 razy
Bryły opisane na kuli
Witam, potrzebuje pomocy z podanymi niżej zadaniami. Oczywiście, nie muszą to być pełne rozwiązania, powinny wystarczyć wskazówki co należy robić krok po kroku.
1. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(\displaystyle{ a}\), a krawędź boczna - \(\displaystyle{ 2a}\). Wyznacz promień kuli wpisanej w ten ostrosłup.
2. Wyznacz pole powierzchni kuli wpisanej w stożek, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoramienny o polu \(\displaystyle{ S}\) i największym kącie równym \(\displaystyle{ 120}\).
3. Kula wpisana w stożek ma pole powierzchni dwa razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej tego stożka do jego podstawy.
Z góry dziękuje za pomoc.
1. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(\displaystyle{ a}\), a krawędź boczna - \(\displaystyle{ 2a}\). Wyznacz promień kuli wpisanej w ten ostrosłup.
2. Wyznacz pole powierzchni kuli wpisanej w stożek, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoramienny o polu \(\displaystyle{ S}\) i największym kącie równym \(\displaystyle{ 120}\).
3. Kula wpisana w stożek ma pole powierzchni dwa razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej tego stożka do jego podstawy.
Z góry dziękuje za pomoc.
Ostatnio zmieniony 25 lut 2019, o 07:36 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Pojedyncze symbole literowe także zapisujemy z użyciem LateXa.
Powód: Pojedyncze symbole literowe także zapisujemy z użyciem LateXa.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Bryły opisane na kuli
Wskazówki:
1.
Narysyj przekrój tego ostrosłupa (z wpisaną kulą) płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i środek boku podstawy. Przekrojem tym będzie trójkąt z wpisanym okręgiem. Promień tego okręgu będzie promieniem szukanej kuli.
2.
Narysuj przekrój osiowy tego stożka i wpisz weń okrąg. Znajdź jego promień - jest to promień szukanej kuli.
3.
Potem, bo muszę kończyć...
1.
Narysyj przekrój tego ostrosłupa (z wpisaną kulą) płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i środek boku podstawy. Przekrojem tym będzie trójkąt z wpisanym okręgiem. Promień tego okręgu będzie promieniem szukanej kuli.
2.
Narysuj przekrój osiowy tego stożka i wpisz weń okrąg. Znajdź jego promień - jest to promień szukanej kuli.
3.
Potem, bo muszę kończyć...
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 27 razy
Bryły opisane na kuli
Dobrze, to co wymyśliłem dla pierwszego:
Stwierdziłem że promień kuli wpisanej będzie równy \(\displaystyle{ 1/3}\) wysokości ostrosłupa. Wyliczyłem więc tą wysokość otrzymując wynik: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{33}a}{3}}\). Potem tylko pomnożyłem to przez \(\displaystyle{ 1/3}\) otrzymując \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{33}a}{9}}\). I ogólnie w tym momencie mnie brakło, ponieważ wynikiem jest liczba \(\displaystyle{ \frac{\left( 3 \sqrt{5} - 1 \right) \sqrt{33}a }{132}}\)
Odnośnie drugiego próbowałem to tak jak napisał Dilectus. Jednak zastanawia mnie jeszcze jedna rzecz mianowicie zależność \(\displaystyle{ H _{przekroju}=?R}\). Wiem, że to dość banalne pytanie jednak często się właśnie na takich rzeczach wykładam.
Stwierdziłem że promień kuli wpisanej będzie równy \(\displaystyle{ 1/3}\) wysokości ostrosłupa. Wyliczyłem więc tą wysokość otrzymując wynik: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{33}a}{3}}\). Potem tylko pomnożyłem to przez \(\displaystyle{ 1/3}\) otrzymując \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{33}a}{9}}\). I ogólnie w tym momencie mnie brakło, ponieważ wynikiem jest liczba \(\displaystyle{ \frac{\left( 3 \sqrt{5} - 1 \right) \sqrt{33}a }{132}}\)
Odnośnie drugiego próbowałem to tak jak napisał Dilectus. Jednak zastanawia mnie jeszcze jedna rzecz mianowicie zależność \(\displaystyle{ H _{przekroju}=?R}\). Wiem, że to dość banalne pytanie jednak często się właśnie na takich rzeczach wykładam.
Ostatnio zmieniony 25 lut 2019, o 07:38 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 27 razy
Bryły opisane na kuli
Dobrze, podszedłem więc do sprawy w sposób opisany przez Dilectusa i otrzymałem następujący trójkąt (wraz z uzasadnieniem skąd pochodzi dana wartość):
Podstawa: \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\) - z podobieństwa trójkątów (Podstawa do trójkąta utworzonego przez przekrój)
Boki: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{15}a }{2}}\) - wysokości boków ostrosłupa
Wysokość: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{33}a }{9} = H _{ostrosłupa}}\) - z tego, że przekrój przechodzi przez środek krawędzi podstawy i wierzchołek.
I mam taki trójkąt z wpisanym kołem i średnio mam pomysł co dalej z nim czynić.
Podstawa: \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\) - z podobieństwa trójkątów (Podstawa do trójkąta utworzonego przez przekrój)
Boki: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{15}a }{2}}\) - wysokości boków ostrosłupa
Wysokość: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{33}a }{9} = H _{ostrosłupa}}\) - z tego, że przekrój przechodzi przez środek krawędzi podstawy i wierzchołek.
I mam taki trójkąt z wpisanym kołem i średnio mam pomysł co dalej z nim czynić.
-
- Użytkownik
- Posty: 163
- Rejestracja: 29 lis 2011, o 20:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 20 razy
Bryły opisane na kuli
z twierdzenia Pitagorasa:isio05 pisze: Wysokość: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{33}a }{9} = H _{ostrosłupa}}\)
\(\displaystyle{ h^2=\left(\frac{ \sqrt{15}a}{2}\right)^2-\left(\frac{a}{4}\right)^2}\)
\(\displaystyle{ h^2= \frac{15a^2}{4}- \frac{a^2}{16}}\)
\(\displaystyle{ h^2= \frac{59a^2}{16}}\)
\(\displaystyle{ h= \sqrt{\frac{59a^2}{16}}}\) bo \(\displaystyle{ h>0}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{\sqrt{59}a}{4}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Bryły opisane na kuli
1. Przekrój tego ostrosłupa to trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 2a}\), \(\displaystyle{ a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i \(\displaystyle{ a \frac{ \sqrt{15} }{2}}\). Znajdź promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
2. Masz pole przekroju \(\displaystyle{ S}\) (trólkąt równoramienny) i kąt wierzchołkowy stożka \(\displaystyle{ \alpha}\).
Niech \(\displaystyle{ l}\) - tworząca stożka, \(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy.
\(\displaystyle{ S= rh}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{S}{r}}\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{l}=\cos\alpha= \frac{1}{2} \Rightarrow h= \frac{1}{2}l}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{l} =\sin\alpha= \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow r=l \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Przekrój stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ 2r}\) i bokach \(\displaystyle{ l}\)
Wpisz weń okrąg i policz promień \(\displaystyle{ R}\). Będzie to promień kuli wpisanej w stożek.
2. Masz pole przekroju \(\displaystyle{ S}\) (trólkąt równoramienny) i kąt wierzchołkowy stożka \(\displaystyle{ \alpha}\).
Niech \(\displaystyle{ l}\) - tworząca stożka, \(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy.
\(\displaystyle{ S= rh}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{S}{r}}\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{l}=\cos\alpha= \frac{1}{2} \Rightarrow h= \frac{1}{2}l}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{l} =\sin\alpha= \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow r=l \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Przekrój stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ 2r}\) i bokach \(\displaystyle{ l}\)
Wpisz weń okrąg i policz promień \(\displaystyle{ R}\). Będzie to promień kuli wpisanej w stożek.
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Bryły opisane na kuli
To fałsz.Dilectus pisze:1. Przekrój tego ostrosłupa to trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 2a}\), \(\displaystyle{ a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i \(\displaystyle{ a \frac{ \sqrt{15} }{2}}\). Znajdź promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
To nie będzie promień kuli.