Matematyka.pl

Jak dowieść że w trójkącie suma 3 środkowych jest mniejsza od obwodu a większa od jego połowy?

Nierówność trójkąta.

Z nierówności trójkąta umiem pokazać, że suma środkowych jest większa od 3/4 obwodu i mniejsza od 3/2 obwodu, ale nie od obwodu. Proszę o pomoc w udowodnieniu, że jest mniejsza od obwodu.

Wskazówka

Rysujemy dowolny trójkąt np. ostrokątny \(\displaystyle{ ABC }\)

Przyjmujemy oznaczenia:

\(\displaystyle{ \overline{BC} = a, \ \ \overline{AC} = b, \ \ \overline{AB}= c }\)

Dowodzimy lub korzystamy z twierdzenia (zachęcam do dowodu)

" Jeżeli odcinek \(\displaystyle{ \overline{AD} }\) jest środkową trójkąta \(\displaystyle{ ABC, }\) wtedy zachodzi równość

\(\displaystyle{ 2\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}" }\)

Z twierdzenia tego wynika że

\(\displaystyle{ |AD| < \frac{b +c}{2}, \ \ |BE|< ..., \ \ |CF| < ...}\)

Dodajemy nierówności stronami.

A jak nie miałeś wektorów to dorysuj na boku `BC` drugi trójkąt tak, żeby dostać równoległobok.

Ok. Dziękuję