Matematyka.pl

Cześć wszystkim.Mam problem z pewnym zadaniem, którego nie potrafię rozwiązać. Wychodzą mi jakieś dziwne liczby.
\(\displaystyle{ (2- \sqrt{3} +i)^{12}}\)
Czyli \(\displaystyle{ a=2- \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ b=1}\). Zatem \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{8-4 \sqrt{3} }}\)

Sam \(\displaystyle{ cos\varphi= \frac{ \sqrt{24+12 \sqrt{3}} }{4}}\).Nie mam żadnego pomysłu jak to przekształcić na liczbę \(\displaystyle{ \Pi}\). Wzoru de Moivra nawet nie stosuję bo to chyba te liczby będą bardziej dziwne.

Byłbym wdzięczny gdyby ktoś mi pokazał gdzie robię błąd, albo jeśli to jest dobrze, to jakoś naprowadził mnie na odpowiedni kierunek.

\(\displaystyle{ \cos\varphi= \frac{2- \sqrt{3} }{ \sqrt{8-4 \sqrt{3} } } = \frac{2- \sqrt{3} }{\sqrt{4\left( 2- \sqrt{3} \right) }} = \frac{2- \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{2- \sqrt{3}} } = \frac{\left( \sqrt{2 - \sqrt{3} } \right) ^{2} }{ 2 \sqrt{2- \sqrt{3}} }= \frac{ \sqrt{2- \sqrt{3} } }{2}}\)

\(\displaystyle{ \varphi = 75 ^{o} = \frac{5 \pi }{12}}\)

bo:

\(\displaystyle{ \cos\left( 30 ^{o} + 45 ^{o} \right) = \cos30 ^{o} \cdot \cos45 ^{o} - \sin30 ^{o} \cdot \sin45 ^{o} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} = \frac{ \sqrt{ \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) ^{2} } }{4} =\frac{ \sqrt{2- \sqrt{3} } }{2}}\)