Znajdź postać jawną funkcji fibonacciego

[arek1357]

Jak w temacie:

\(\displaystyle{ f(0)=0, f(1)=1}\)

\(\displaystyle{ f(x+2)=f(x+1)+f(x) , x \in R}\)

[Medea 2]

Napisz funkcję tworzącą.

[arek1357]

A jaką?

[Medea 2]

Ciągu Fibonacciego Jeżeli

\(\displaystyle{ F(x) = \sum_k f_k x^k,}\)

to jakie równanie spełnia \(\displaystyle{ F(x)}\)? Wskazówka: tu chodzi o zależność rekurencyjną z Twojego pierwszego postu. I źle napisałeś definicję, bo ona jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb N}\), a nie rzeczywistego.

[arek1357]

No właśnie chodziło mi o rzeczywiste a nie Fibonacciego

[Medea 2]

W takim razie ile Twoim zdaniem wynosi \(\displaystyle{ F(1/2)}\)?

[arek1357]

Mi chodziło o coś więcej czy można w dziedzinie rzeczywistej rozwiązać to równanie, czy są jakieś uogólnienia tego wzoru na przypadek rzeczywisty coś w rodzaju jak jest uogólnienie silni za pomocą funkcji gamma.
Bo jak się tworzy ciąg Fibonacciego jego wzór ogólny i rekurencyjny funkcje tworzące to ja raczej znam, ja się zastanawiałem nad przejściem do szerszej dziedziny.
I nawet nie chodzi tylko o wzór fibonacciego może być inna rekurencja, którą rozszerzamy z dziedziny naturalnej do rzeczywistej i otrzymujemy coś więcej lub nic.
Np:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+n^2}\)
Możemy to równanie sobie zamieniać na wzór jawny i to nie jest dla mnie trudnością.
Ale jeśli rozszerzymy dziedzinę do rzeczywistych to otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)+x^2}\)

A teraz będzie czy nie będzie rozwiązanie a może rozwiązań będzie więcej niż dla naturalnych ...

Takich przykładów można mnożyć i można zastanawiać się kiedy to rozwiązanie jest a kiedy nie ma!
W takim aspekcie ja ten problem rozpatruję.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ f(0)=0, f(1)=1}\)

\(\displaystyle{ f(x+2)=f(x+1)+f(x) , x \in R}\)

Jeśli zadasz warunek brzegowy, na przykład ustalając wartość \(\displaystyle{ f(x)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in[0,2),}\) to wtedy będziesz miał jednoznaczne rozwiązanie. Przy tym warunku, który zadałeś, przestrzeń rozwiązań jest continuum-wymiarowa.

[arek1357]

To znaczy, że chodzi ci o to iż funkcja będzie stała na przedziale \(\displaystyle{ [0,2)}\)
i czemu continuum czy tych funkcji będzie aż tyle to wypisz kilka heh...-- 1 grudnia 2014, 09:32 --No jeśli różnica między dwiema funkcjami będzie liczbą rzeczywistą to jasne że continuum ale to i tak niewielka różnica większa różnica jak będzie się różnić np potęgą przy \(\displaystyle{ x}\)

[Zordon]

Musisz podać warunek początkowy, to jest \(\displaystyle{ f(t)}\) dla \(\displaystyle{ t\in [0,2)}\)
Ponadto, rozwiązań jest tyle ile funkcji \(\displaystyle{ [0,2)\to \RR}\), czyli sporo.
Pytanie czy istnieje jakieś ładne rozwiązanie, np. wypukłe. To jest dopiero ciekawe pytanie.

[jutrvy]

Natomiast co do oryginalnego pytania z pierwszego postu... nie trzeba wcale liczyć funkcjami tworzącymi, można zdiagonalizować odpowiednią macierz kwadratową, też powinno wyjść ładnie. Przy czym nie mówię, że to jest lepsze, czy głupsze rozwiązanie - podaje jeszcze inną możliwość. Można też napisać równanie charakterystyczne tej rekurencji i otrzymać wzór jawny (ale to równanie właśnie się bierze ze sposobu macierzowego... przynajmniej ja tak to widzę...)

Jak wyznaczysz wzór jawny, to dostaniesz funkcję określoną na liczbach naturalnych. Wtedy będziesz mógł się zastanowić, co zrobić z tymi dziurami, bo o to pytasz, tak? Czy można napisać jakąś ładną funkcję, która na argumentach naturalnych będzie przyjmowała kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego?

[arek1357]

No to niech ktoś rzuci jakiś konkretny przykład funkcji spełniających tę zależność jeden jedyny z całego continuum

Właśnie chodzi o zapełnienie dziur.

[jutrvy]

No to niech ktoś rzuci jakiś konkretny przykład funkcji spełniających tę zależność jeden jedyny z całego continuum

Ściślej rzecz biorąc, to z całego \(\displaystyle{ 2^{|\mathbb{R}|}}\) - funkcja, to zbiór par...

Ale dobra, masz wzór Bineta:

\(\displaystyle{ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}\).

Np \(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} F_n, \ \hbox{gdy n jest naturalna} \\
0, \ \hbox{w pozostałych przypadkach}
\end{cases}}\)

[norwimaj]

Pytanie czy istnieje jakieś ładne rozwiązanie, np. wypukłe.

\(\displaystyle{ f(x)=\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^x}\)

No to niech ktoś rzuci jakiś konkretny przykład funkcji spełniających tę zależność jeden jedyny z całego continuum

A czy ktoś tu pisał, że jest ich \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)? Tych funkcji jest \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}.}\) Dokładnie tyle, ile funkcji \(\displaystyle{ [0,2)\to \RR.}\)

Np \(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} F_n, \ \hbox{gdy n jest naturalna} \\
0, \ \hbox{w pozostałych przypadkach}
\end{cases}}\)

W pierwszym przypadku oczywiście \(\displaystyle{ n}\) całkowita, niekoniecznie naturalna.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ f(x)=\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^x}\)

Tak łatwo to nie ma! \(\displaystyle{ f(1)}\) się nie zgadza - miało być równe \(\displaystyle{ 1.}\)

Rozwiązań wypukłych nie ma z prostej przyczyny - bo \(\displaystyle{ f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 1}\) i już ta trójka przeczy wypukłości.