Definicja jednostajnej ciągłości.

[kris]

Definicja ciągłości wygląda tak:

\(\displaystyle{ \forall_{ \epsilon >0} \exists_{\delta >0}\forall_{x,y X}\; |x-y| < \delta |f(x)-f(y)| < \epsilon}\)

A może to jest def. jednostajnej ciągłości?

czym różnią się te dwie definicje, intuicyjnie wiem, nieintuicyjnie będzie kiepsko

[Tomasz Rużycki]

Definicja jednostajnej ciągłości:

Jeżeli funkcja f(x) jest określona w pewnym przedziale A (domkniętym lub nie, skończonym lub nie) i ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) tego przedziału, to
\(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)}\) lub (w języku epsilonów i delt):
dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ \delta>0}\), że
\(\displaystyle{ |x-x_0|}\)

[chlip]

kris definicja którą napisałeś jest definicją jednostajnej ciągłości funkcji f(x) na zbiorze X

Jednostajna ciągłość jet pojęciem globalnym , charakteryzuje ciągłość na zbiorze.

Natomiast ciągłość jest pojęciem lokalnym i definiowanym w punkcie.

Z jednostajnej ciągłośći na zbiorze X wynika ciągłość w każdym punkcie tego zbioru, ale nie na odwrót( np. funkcja f(x)=1/x jest ciągła w każdym punkcie zbioru (0, inf) nie jest jednak jednostajnie ciągła w tym zbiorze)

[liu]

Formalnie ciaglosc jednostajna rozni sie kolejnoscia kwantyfikatorow - w jednostajnie ciaglej funkcji dobieramy jedna delte dla wszystkich x, a w funkcji ciaglej dla kazdego x delta moze byc inna.



Poza tym funkcja ciagla na zbiorze zwartym jest jednostajnie ciagla, jesli zbior jest niezwarty to juz zazwyczaj nie;)

Ciaglosc w zwyklym sensie otrzymalbys z tamtej definicji, gdybys kwantyfikatory umiescil w takiej kolejnosci - najpierw iksy, potem delta

[kris]

ok, udało mi się rozszyfrować

ale gdzie tkwi haczyk? skoro funkcja jest ciągła, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny, to czym te dwie definicje się dokłądnie różnia (proszę o tłumaczenie intuicyjne )

przykład: funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0;1)}\) jest ciągła ale jednostajnie ciągła nie jest

[kubba93]

Może się jeszcze komuś przyda w przyszłości...
Intuicyjnie, jednostajna ciągłość oznacza, że funkcja nie "ucieka" w nieskończoność, tzn. na przykładzie funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), gdy weźmiemy ciąg zbieżny do 0, np. \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) to różnica kolejnych elementów tego ciągu będzie zbieżna do zera, a różnica ich wartości będzie zbieżna do nieskończoności. Zatem funkcja nie jest jednostajnie ciągła.

[a4karo]

Może się jeszcze komuś przyda w przyszłości...
Intuicyjnie, jednostajna ciągłość oznacza, że funkcja nie "ucieka" w nieskończoność, tzn. na przykładzie funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), gdy weźmiemy ciąg zbieżny do 0, np. \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) to różnica kolejnych elementów tego ciągu będzie zbieżna do zera, a różnica ich wartości będzie zbieżna do nieskończoności. Zatem funkcja nie jest jednostajnie ciągła.

Słabe dosyć wyjaśnienie z tym uciekaniem do nieskończoności: funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x}\) na \(\displaystyle{ (0,\infty)}\) ucieka do nieskończoności, ale jest jednostajnie ciągła, zaś funkcja \(\displaystyle{ \sin(1/x)}\) jest ograniczona, ale nie jest jednostajnie ciągła na \(\displaystyle{ (0,1)}\).
I nawet nie chodzi tu o duże nachylenie wykresu (bo nachylenie wykresu pierwiastka jest koło zera nieskończone, a jednak mamy do czynienia z funkcja jednostajnie ciągłą.
Chodzi o to, żeby funkcja na odcinkach o ustalonej długości nie zmieniała się zbyt wiele.

[godilla]

@a4karo
Podobnie, jak autor wątku, usiłuję dobrze zrozumieć pojęcie ciągłości jednostajnej i myślę, że Twoja wypowiedź niemal w pełni zaspokaja moje potrzeby, jednak zaciekawił mnie fragment:

(...)
I nawet nie chodzi tu o duże nachylenie wykresu (bo nachylenie wykresu pierwiastka jest koło zera nieskończone, a jednak mamy do czynienia z funkcja jednostajnie ciągłą).
Chodzi o to, żeby funkcja na odcinkach o ustalonej długości nie zmieniała się zbyt wiele.

Zechciałbyś to wytłumaczyć szerzej, a nawet podać dowód? Myślę, że tego brakuje mi do pełności zrozumienia.