Masa gwiazdy, układ podwójny

[Yassamet]

Kłaniam się wszystkim.
Mam problem, który być może jest rozwiązywany już w szkołach średnich, nie wiem. Mam nadzieję, że to tylko coś, czego nie umiem zobaczyć, a co jest proste, niźli problem faktyczny.
Mianowicie:
Obserwujemy układ podwójny gwiazd, wizualnie podwójny (czyli teleskopem optycznym potrafimy rozdzielić oba składniki). Z obserwacji wyciągamy:
okres obiegu ciał wokół siebie \(\displaystyle{ P}\)
paralaksę układu \(\displaystyle{ \pi ''}\)
półoś względną obiektu 1 od 2 w mierze kątowej. \(\displaystyle{ \alpha = \alpha_{1} + \alpha_{2}}\)
Chcemy obliczyć masę.

Zaczynamy od obliczenia odległości, która wynika z paralaksy, ponieważ są to parametry do siebie odwrotne. \(\displaystyle{ d = \frac{1}{ \pi ''}}\)

Mając odległość używamy ją, by obliczyć półoś względną w mierze liniowej:
\(\displaystyle{ a_{1} + a_{2} = d( \alpha_{1} + \alpha_{2} ) = d \cdot \alpha}\)

Następnie korzystamy z trzeciego prawa Keplera, by uzyskać sumę mas:
\(\displaystyle{ \frac{G}{4\pi^{2}} ( M_{1} + M_{2} ) = \frac{( a_{1} + a_{2} )^{3} }{P^{2}}}\)

Gdzie oczywiście \(\displaystyle{ G}\) jest stałą grawitacji. Teraz powinniśmy ze wzoru na środek mas obliczyć iloraz mas, aby móc obliczyć masy osobno.
Wzór brzmi: \(\displaystyle{ M_{1} r_{1} = M_{2} r_{2}}\)
Jednak nie do końca umiem go użyć. Z tego co się orientuję, w tym przypadku nie mamy obliczonych osobno półosi \(\displaystyle{ a_{1}}\) i \(\displaystyle{ a_{2}}\), a bez nich nie potrafię obejść problemu. Zdaję sobie sprawę, że we wzorze można promienie \(\displaystyle{ r}\) zamienić półosiami oraz że można zapisać \(\displaystyle{ M_{1} a_{1} = (M_{1} + M_{2})(a_{1} + a_{2})}\), jednak to też nie pomaga.

Problem pojawił się przy czytaniu tejże prezentacji:


Czy może jednak mamy wyznaczone pojedyncze osie, tylko ja tego nie zauważyłam? Sama nie wiem...
Proszę o pomoc.

[daras170]

Przede wszystkim

\(\displaystyle{ \frac{G}{3\pi^{2}} ( M_{1} + M_{2} ) = \frac{( a_{1} + a_{2} )^{3} }{P^{2}}}\)

w mianowniku powinna być 4.
Ruch jest rozpatrywany wokół wspólnego środka mas więc \(\displaystyle{ r_1 +r_2 \rightarrow a_1 +a_2\rightarrow d\alpha}\),
\(\displaystyle{ \frac{m_1}{m_2}= \frac{r_2}{r_1}= \frac{a_2}{a_1}}\).

[Yassamet]

Zgadzam się, w mianowniku powinna być czwórka. Chochlik mi się wkradł.

Natomiast jak uzyskać wartość \(\displaystyle{ \frac{a_{2}}{a_{1}}}\), jeżeli z obserwacji mamy tylko wartość \(\displaystyle{ a_{1} + a_{2}}\) ? W tym tkwi mój problem.

[daras170]

Znajdź położenie środka masy możesz przyjąć, że gwiazdy krążą po okręgach.