Matematyka.pl

Witam. Zastanawiam się nad rozwiązaniem zadania o następującej treści: Dane są liczby \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}}\) takie, że: \(\displaystyle{ a_{1} \le a_{2} \le ... \le a_{n}}\) oraz liczby \(\displaystyle{ \alpha _{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}}\) tworzące malejący ciąg arytmetyczny. Przynajmniej połowa z liczb \(\displaystyle{ \alpha _{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}}\) jest dodatnia. Wykaż, że wśród liczb \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}}\) jest taka liczba \(\displaystyle{ a_{p}}\), że:
\(\displaystyle{ \frac{\alpha_{1}a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+...+\alpha_{n}a_{n}}{\alpha_{1}+\alpha_{2}+...+\alpha_{n}} \ge a_{p}}\)
Mnie to osobiście wygląda na średnią ważoną, a ta jest zawsze większa lub równa \(\displaystyle{ a_{1}}\). Jednak wiem, że średnia ważona nie może zawierać ujemnych wag. Jak sobie poradzić z tym zadaniem?

A co się stanie, jeżeli jednak weźmiesz \(\displaystyle{ a_p = a_1}\) i przemnożysz nierówność przez mianownik?
To wtedy, gdy jest dodatni. A kiedy byłby ujemny?

\(\displaystyle{ \alpha_{1}+\alpha_{2}+...+\alpha_{n}}\) zawsze jest większe 0.

Wiele mi to nie da, gdyż nie potrafię uzasadnić
\(\displaystyle{ \alpha_{1}a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+...+\alpha_{n}a_{n} \ge a_{p}(\alpha_{1}+\alpha_{2}+...+\alpha_{n)}\)