Matematyka.pl

Rozstrzygnij czy następujące zdania są prawdziwe:

a) \(\displaystyle{ \forall _{x \in N}\ \exists_{y \in N}\ x<y}\)
"Dla każdego \(\displaystyle{ x \in N}\), istnieje takie \(\displaystyle{ y \in N}\) aby \(\displaystyle{ x < y}\)"
Zdanie prawdziwe. Liczby naturalne są nieujemnymi liczbami całkowitymi, więc jest ich nieskończenie wiele, co za tym idzie każda liczba naturalna ma swojego następnika (np \(\displaystyle{ x=0\ y=1}\), \(\displaystyle{ x=0\ y=123}\), \(\displaystyle{ x=654\ y=990}\)).

b) \(\displaystyle{ \exists_{y \in N}\ \forall _{x \in N}\ x<y}\)
"Istnieje takie \(\displaystyle{ y \in N}\), że dla każdego \(\displaystyle{ x \in N}\), \(\displaystyle{ x<y}\)"
Zdanie nieprawdziwe. Nie jest możliwe wybranie największej liczby ze zbioru liczb naturalnych. Kontrprzykład: \(\displaystyle{ y=2\ x=5}\)

c) \(\displaystyle{ \forall_{y \in R}\ \exists _{x \in R}\ x \le y}\)
"Dla każdego \(\displaystyle{ y \in R}\), istnieje takie \(\displaystyle{ x \in R}\), że \(\displaystyle{ x \le y}\)"
Zdanie prawdziwe. Jakąkolwiek liczbę rzeczywistą wybiorę, mogę znaleźć drugą liczbę rzeczywistą, która będzie od niej mniejsza lub równa.

Proszę o sprawdzenie, z góry dziękuję.
Pozdrawiam!

Zgadza sie.

Będę nieco bardziej rygorystyczny od kolegi wyżej.

tomcio1243 pisze: a) \(\displaystyle{ \forall _{x \in N}\ \exists_{y \in N}\ x<y}\)
"Dla każdego \(\displaystyle{ x \in N}\), istnieje takie \(\displaystyle{ y \in N}\) aby \(\displaystyle{ x < y}\)"
Zdanie prawdziwe. Liczby naturalne są nieujemnymi liczbami całkowitymi, więc jest ich nieskończenie wiele, co za tym idzie każda liczba naturalna ma swojego następnika (np \(\displaystyle{ x=0\ y=1}\), \(\displaystyle{ x=0\ y=123}\), \(\displaystyle{ x=654\ y=990}\)).

Używasz określenia następnika, ale nie stosujesz go poprawnie wskazując \(\displaystyle{ y}\). Chyba nie do końca wiesz, czym jest następnik. Zamiast tego sugerowałbym wskazać \(\displaystyle{ y}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\), zamiast powoływać się na kilka przykładów.

tomcio1243 pisze: b) \(\displaystyle{ \exists_{y \in N}\ \forall _{x \in N}\ x<y}\)
"Istnieje takie \(\displaystyle{ y \in N}\), że dla każdego \(\displaystyle{ x \in N}\), \(\displaystyle{ x<y}\)"
Zdanie nieprawdziwe. Nie jest możliwe wybranie największej liczby ze zbioru liczb naturalnych. Kontrprzykład: \(\displaystyle{ y=2\ x=5}\)

Tak opisany kontrprzykład jest niedobry. Wskazujesz konkretne \(\displaystyle{ y}\), a powinieneś pokazać, że nie istnieje jakiekolwiek \(\displaystyle{ y}\), które spełnia zdanie.

tomcio1243 pisze: c) \(\displaystyle{ \forall_{y \in R}\ \exists _{x \in R}\ x \le y}\)
"Dla każdego \(\displaystyle{ y \in R}\), istnieje takie \(\displaystyle{ x \in R}\), że \(\displaystyle{ x \le y}\)"
Zdanie prawdziwe. Jakąkolwiek liczbę rzeczywistą wybiorę, mogę znaleźć drugą liczbę rzeczywistą, która będzie od niej mniejsza lub równa.

Słowny dowód. A potrafisz to samo zapisać formalnie? Twoja teza jest zapisania językiem matematycznym, więc powinieneś wpleść w dowód również nieco języka matematycznego. Zaczynasz od wyboru \(\displaystyle{ y}\), i masz teraz wskazać \(\displaystyle{ x}\). Jak to zrobić?

yorgin pisze:Używasz określenia następnika, ale nie stosujesz go poprawnie wskazując \(\displaystyle{ y}\). Chyba nie do końca wiesz, czym jest następnik. Zamiast tego sugerowałbym wskazać \(\displaystyle{ y}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\), zamiast powoływać się na kilka przykładów.

Hmm. Chodzi o to żeby zapisać, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) istnieje \(\displaystyle{ y = x + k}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in N \setminus \left\{ 0\right\}}\)?

yorgin pisze:Tak opisany kontrprzykład jest niedobry. Wskazujesz konkretne \(\displaystyle{ y}\), a powinieneś pokazać, że nie istnieje jakiekolwiek \(\displaystyle{ y}\), które spełnia zdanie.

A jak to zrobić? Zapisać za pomocą kwantyfikatorów że nie istnieje jakiekolwiek y, które spełnia zdanie?

yorgin pisze: Słowny dowód. A potrafisz to samo zapisać formalnie? Twoja teza jest zapisania językiem matematycznym, więc powinieneś wpleść w dowód również nieco języka matematycznego. Zaczynasz od wyboru \(\displaystyle{ y}\), i masz teraz wskazać \(\displaystyle{ x}\). Jak to zrobić?

Niestety nie mam pojęcia jak to zapisać formalnie. Tak naprawdę zdanie "Jakąkolwiek liczbę rzeczywistą wybiorę, mogę znaleźć drugą liczbę rzeczywistą, która będzie od niej mniejsza lub równa", to przeczytanie zadania z kwantyfikatorami z zadania.

Edit: \(\displaystyle{ \forall_{y \in R}\ \exists _{x \in R}\ x=y-k \wedge k \in \left\langle 0, \infty )\right}\) dobrze?

tomcio1243 pisze: Hmm. Chodzi o to żeby zapisać, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) istnieje \(\displaystyle{ y = x + k}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in N \setminus \left\{ 0\right\}}\)?

Lepiej, choć nie wiadomo, jak skwantyfikowane jest \(\displaystyle{ k}\). A może to \(\displaystyle{ k}\) w ogóle nie jest potrzebne? (wks. nie jest)

tomcio1243 pisze: A jak to zrobić? Zapisać za pomocą kwantyfikatorów że nie istnieje jakiekolwiek y, które spełnia zdanie?

Nie. Napiszesz w ten sposób co najwyżej równoważne zdanie, ale nie zbliży Cię to do uzasadnienia.

Załóż, że \(\displaystyle{ y_0}\) jest takie, jak w zdaniu. Pokaż, że zdanie

\(\displaystyle{ \forall x\in\NN\ \ x<y_0}\)

jest fałszywe.

tomcio1243 pisze: \(\displaystyle{ \forall_{y \in R}\ \exists _{x \in R}\ x=y-k \wedge k \in \left\langle 0, \infty )\right}\)

Machasz znaczkami, z czego nie wynika za wiele.
Znów - \(\displaystyle{ k}\) pojawia się w zdaniu, ale nie jest nigdzie skwantyfikowane.
Napisałeś:

. Jakąkolwiek liczbę rzeczywistą wybiorę, mogę znaleźć drugą liczbę rzeczywistą, która będzie od niej mniejsza lub równa.

To wskaż jedną konkretną, która jest mniejsza. Nie musisz od razu wskazywać dowolnej, nieskończenie wielu itp (co jak widać z powyższych, robisz źle). Zacznij tak, jak ja napisałem w poprzednim poście.