Matematyka.pl

Amplituda drgań tłumionych zmniejszyła sie podczas jednego okresu o 50%. O ile różni sie okres drgań własnych nietłumionych wynoszących T=1s od okresu drgań tłumionych?

rownanie drgan tlumionych;
\(\displaystyle{ x = A e^{-\frac{\beta}{2}t} \sin (\frac{2 \pi}{T}t+ \phi) \\}\)
warunki zadania
\(\displaystyle{ t_2 = t_1 + T, \ \ x_1 = 2 x_2, \ \ t_2-t_1=1 \\
\sin(\frac{2 \pi}{T}t_2 + \phi ) = \sin(\frac{2 \pi}{T} (t_1+T) + \phi) =
\sin (\frac{ 2 \pi}{T} t_1 + \phi + 2 \pi ) =\sin (\frac{ 2 \pi}{T} t_1 + \phi ), \ (*) \\
x_1 = 2 x_2 \\
A e^{-\frac{\beta}{2}t_1} \sin (\frac{2 \pi}{T}t_1+ \phi)=
2 A e^{-\frac{\beta}{2}t_2} \sin (\frac{2 \pi}{T}t_2+ \phi), \\
e^{-\frac{\beta}{2}t_1}=2 e^{-\frac{\beta}{2}t_2}, \ \ z \ (*) \\
- \frac{\beta}{2}t_2 = - \frac{\beta}{2}t_1 + \ln 2, \ \ t_2-t_1 = 1 \\
-\frac{\beta}{2} = \ln 2, \ \
\beta = - \ln 4 \\
\omega = \frac{2 \pi}{T}, \ \ T = \frac{2 \pi}{\omega} \\
\omega_0 = \frac{2 \pi}{T_1} = 2 \pi \\
\omega_0^2 = \omega^2- \beta^2 \\
\omega = \sqrt{\beta^2 + \omega_0^2} \\
\omega = \sqrt{\ln^2 4 + 4 \pi^2} \\
\Delta t = T_1-T \\
\Delta t = 1- \frac{2 \pi}{\sqrt{\ln^2 4 + 4 \pi^2}} \\
\Delta t 0,0235 s}\)

Witam czy

\(\displaystyle{ x = A e^{-\frac{\beta}{2}t} \sin (\frac{2 \pi}{T}t+ \phi) \\}\) jest poprawnie zapisany ? Czy nie powinno tam być w potędze \(\displaystyle{ -\beta*t}\) ??? A więc \(\displaystyle{ \beta=-ln2}\) ????