Matematyka.pl

Witam,

Nie jestem pewien, w jaki sposób rozwiązywać to zadanie i jemu podobne:

Wyznacz rząd macierzy \(\displaystyle{ A}\) w zależności od parametru \(\displaystyle{ k \in R}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}k&1&2&-2\\1&-2&-3&2\\5&0&1&-k\end{array}\right]}\)

Oglądałem jakiś filmik, w którym zalecane było przekształcenie macierzy do postaci schodkowej, co mi wyszło w ten sposób:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&k&-2\\0&1&5&-k\\0&0&2k-4&-2\end{array}\right]}\)

Tylko teraz nie rozumiem, w jaki sposób z tego określić, jaki będzie rząd...
W odpowiedziach:
\(\displaystyle{ r(A) = \begin{cases} 2, \hbox{ gdy } k=2\\3, \hbox{ gdy } k \neq 2\end{cases}}\)

Mam podejrzenia, jak to może działać, ale chciałbym je rozwinąć w wiedzę, bo o ile dla konkretnie takiego przypadku, byłbym może w stanie rozwiązać to nie wiem do końca o co chodzi z tym liczeniem schodków i jak to się robi. A może w ogóle należy to rozwiązywać inaczej? Będę bardzo wdzięczy za pomoc.

Schodki są ok. Gdy \(\displaystyle{ k\neq 2}\), to lewy minor \(\displaystyle{ 3\times 3}\) jest niezerowy.
Zobacz, jak wygląda ta macierz gdy \(\displaystyle{ k=2}\) i wszystko będzie jasne.

Ja to działa z tym minorem dokładnie? Dobra wstawiam tą 2 i wygląda wtedy to tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&2&-2\\0&1&5&-2\\0&0&0&-2\end{array}\right]}\)

Wykreślam 3 wiersz z zerami i mam wtedy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&2\\0&1&5\end{array}\right]}\)

Pierwszą kolumnę odejmuje od 2 pozostałych i wykreślam zostaje mi:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-1&3\end{array}\right]}\)

I wiem, że musi być minimum 2 rząd bo 2 razy skreślem, a co z tym co zostało mi wyżej? Może jakiś błąd rachunkowy i to powinna być macierz zerowa albo coś takiego?

Wykreśl pierwszą kolumnę i znowu doprowadź do postaci schodkowej pozostały minor.
Wykreślanie wiersza w tej sytuacji jest błędnym podejściem, bo od razu skazujesz się na nie znalezienie minora rzędu 3.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&5&-2\\0&-8&2\\0&0&-2\end{array}\right]}\)

I co robię teraz? Chyba, że chodziło o to by zrobić to przed podstawieniem 2 za k, ale obawiam się, że nie dałbym razy wyzerować odpowiednio, aby dostać schodki w takim wypadku.

Nie, nie. Juz po podstawieniu.
No ale z tego co tu widać rząd tej macierzy także wynosi \(\displaystyle{ 3}\). Wynika stąd, że albo w odpowiedzi jest błąd albo gdzieś na początku źle przekształciłeś do postaci trójkątnej.

Bo stąd wynika, że dla \(\displaystyle{ k \in \RR \ \ \ r\left( A\right)=3}\)

Coś musiałes żle przekształcić: w oryginalnej macierzy wstaw k=2 i dodaj do drugiego wiersza dwa razy pierwszy wiersz.
Rząd jest wtedy 2