Matematyka.pl

Od jakiegoś czasu próbuję się uporać ze znalezieniem rozwiązań równania \(\displaystyle{ y^2=x^3+17}\) w liczbach całkowitych x,y. Udało mi się rozwiązać \(\displaystyle{ y^2=x^3+1}\), ale z 17 problem wydaje mi się znacznie trudniejszy. Proszę o jakieś wskazówki.

łatwo wyszukać kilka początkowych rozwiązań bo jest to krzywa eliptyczna i wiadomo jak wygląda są to:

\(\displaystyle{ (-2,3) (-2,-3)}\)

\(\displaystyle{ (-1,4) (-1,-4)}\)

\(\displaystyle{ (2,5) (2,-5)}\)

\(\displaystyle{ (4,9) (4,-9)}\)

\(\displaystyle{ (8,23) (8,-23)}\)

\(\displaystyle{ (52,275) (52,-275)}\)


Gorzej jest sprawdzić czy są jeszcze jakieś rozwiązania.

ja próbowałem to robić za pomocą arytmetyki grupy krzywej eliptycznej czyli:

\(\displaystyle{ P+Q=\begin{cases} 0, x_{1}=x_{2},i, y_{1}=-y_{2}\\ (x_{3},y_{3})\end{cases}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ (x_{3},y_{3})=( \alpha^2-x_{1}-x_{2}, \alpha(x_{1}-x_{3})-y_{1} )}\)

i:

\(\displaystyle{ \alpha =\begin{cases} \frac{3x_{1}^2}{2y_{1}} , P=Q \\ \\ \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} , P \neq Q\end{cases}}\)

Próbowałem dodawać te punkty i potem raczej już mi nie wychodziły całkowite tylko wymierne
Ale tak całkiem formalnie to to nie jest jeszcze!

Trzeba patrzeć na alfę tak żeby była całkowita czyli mianownik był podzielny przez licznik