Matematyka.pl

\(\displaystyle{ b_0=2 \\ b_1=3 \\ b_n=5b_{n-1}-6b_{n-2}+n^2 \cdot 2^n}\)

Mam taką rekurencję i nie wiem jak ją rozwiązać. Rozpisuję

\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^{ \infty }b_nx^n=2-7x+5xf(x)-6x^2f(x)+\sum_{n=2}^{ \infty }n^2 \cdot 2^n x^n}\)

Jak policzyć \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }n^2 2^nx^n}\)?

To jest to samo, co \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }n^2 (2x) ^{n}}\), a to z kolei jest \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } n(n-1)(2x)^{n}+ \sum_{n=2}^{ \infty }n(2x)^{n}}\) (zakładając zbieżność tego). No to to pierwsze to jest \(\displaystyle{ 2x \cdot \left( \sum_{n=0}^{ \infty } (2x)^{n} \right) ''}\), a to drugie, to chyba widzisz, co. Przedstaw \(\displaystyle{ \sum (2x)^{n}}\) w zwartej postaci i rózniczkuj tę zwartą postać.

Ok, dzięki.

Taka uwaga, że się pomyliłem na początku, powinno być \(\displaystyle{ (2x)^2 \cdot \left( \sum_{n=0}^{ \infty } (2x)^{n} \right) ''}\)

A wie ktoś jak prościej rozwiązać tę rekurencję niż poprzez funkcje tworzące? Bo przez funkcje tworzące to sporo rachunków jest do przejścia, a jakbym tego typu dostał na kolokwium, to w ten sposób raczej nie zdążę. Można to prościej zrobić?

Można użyć równania charakterystycznego i metody przewidywań.

Q.

Znalazłem coś takiego - 304902.htm jednak nie widzę tam przypadku gdy \(\displaystyle{ f(n)=n^22^n}\). Mógłbyś podpowiedzieć jak znaleźć rozwiązanie szczególne w przypadku tej rekurencji?

W ogólności, jeśli część niejednorodna jest postaci \(\displaystyle{ f(n)=a^n\cdot W(n)}\), to rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci \(\displaystyle{ n^k\cdot a^n\cdot V(n)}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) jest wielomianem tego samego stopnia co \(\displaystyle{ W}\), a \(\displaystyle{ k}\) jest krotnością \(\displaystyle{ a}\) jako pierwiastka równania charakterystycznego.

Q.

Czyli w moim przypadku równaniem charakterystycznym równania jednorodnego jest równanie \(\displaystyle{ x^2-5x-6=0}\), więc rozwiązaniem rekurencji \(\displaystyle{ b_n=5b_{n-1}-6b_{n-2}}\) są ciągi postaci \(\displaystyle{ b_n=c 2^n+d 3^n}\), więc rozwiązaniem ogólnym rekurencji \(\displaystyle{ b_n=5b_{n-1}-6b_{n-2}+n^2 2^n}\) będzie \(\displaystyle{ b_n=c2^n+d3^n+n2^n(fn^2+gn+h)}\)?

I teraz żeby znaleźć współczynniki \(\displaystyle{ c,d,f,g,h}\) muszę rozwiązać taki spory układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases}b_0=2=c2^0+d3^0+0\cdot 2^0(f0^2+g0+h) \\ b_1=3=c2^1+d3^1+1 \cdot 2^1 (f1^2+g1+h) \\ b_2=75=c2^2+d3^2+2 \cdot 2^2(f2^2+g2+h) \\ b_3=613=c2^3+d3^3+3 \cdot 2^3(f3^2+3g+h) \\ b_4=3415=c2^4+d3^4+4 \cdot 2^4(f4^2+g4+h)\end{cases}}\)

?

Słusznie przewidujesz rozwiązanie szczególne w postaci \(\displaystyle{ n2^n(fn^2+gn+h)}\), ale najpierw znajdź \(\displaystyle{ f,g,h}\) wstawiając je do rekurencji - otrzymasz wtedy układ trzech równań z trzema niewiadomymi. A dopiero potem zajmij się szukaniem współczynników przy bazowych rozwiązaniach równania jednorodnego (tzn. \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\)).

Q.