Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 4} \frac{\sin ( x^{2} -5x + 4)}{x ^{2} - 16 }}\)
chętnie bym skorzystał ze wzoru
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}\)
ale w tym przykładzie \(\displaystyle{ x \rightarrow 4}\) więc tu pytanie czy mogę go użyć? Wynik w wolframie jest równy z tym gdybym użył tego wzoru Ale niestety czasem zły sposób prowadzi do złego rozwiązania a tego wolę unikać .
Jeśli jest inny sposób to proszę o jakąś podpowiedź

\(\displaystyle{ \frac{\sin( x^{2} -5x + 4)}{x ^{2} - 16 }= \frac{\sin( x^{2} -5x + 4)}{x^{2} -5x + 4} \frac{x^{2} -5x + 4}{x ^{2}-16 }}\)
gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 4}\), to ten pierwszy ułamek zbiega do \(\displaystyle{ 1}\), a jeśli chodzi o drugi, to rozłóż jego licznik i mianownik na czynniki.
Bezpośrednio do tego, co tam masz, nie możesz użyć tej granicy, bo ona potocznie rzecz ujmując wymaga, by w argumencie sinusa i w mianowniku było to samo.

wiem jak rozwiązać ten przykład tylko pytam się czy jest ważne do czego dąży x czy jest to obojętne?

Nie jest. Zresztą sam spójrz: \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi/2} \frac{\sin x}{x}=\frac{\sin (\pi/2)}{\pi/2}=\frac{1}{\pi /2}=\frac{2}{\pi}}\) i to ewidentnie nie jest jeden

No dobra to skoro tak to nie wiem jak to rozwiązać chyba ze jeśli po podstawieniu tego do czego dąży x(w tym przypadku 4) wychodzi mi 0/0?? wyciągam dobre wnioski?

Po prostu argument musi dążyć do zera. Nie jest ważne jak on wygląda.

a czy \(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\ctg x}{x} = 1}\) bo mam \(\displaystyle{ \frac00}\) ?

A skąd masz 0/0???

kurde za bardzo kombinuje próbuje rozwiązać przykład \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{\cos 5x}{\cos 3x}}\) nie używając szpitala bo go jeszcze nie było

Użyj w liczniku wzoru na cosinus sumy. \(\displaystyle{ 5x=2x+3x}\)

albo podstaw \(\displaystyle{ t=x-\pi/2}\) i użyj wzorów redukcyjnych