Matematyka.pl

Zadanie nr1.
Znaleść przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji
\(\displaystyle{ f(x)= arctg\frac{x^2}{\sqrt{3}}}\)



Zadanie nr2.
Znaleść przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji
\(\displaystyle{ f(x)= e^{arctg x}}\)


Z góry dzięki.

1.
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{3}{3 + x^{4}}\cdot \frac{2x}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}x}{3 + x^{4}}\\
f''(x) = \frac{2\sqrt{3}(3 + x^{4}) - 2\sqrt{3}x\cdot 4x^{3}}{(3+x^{4})^{2}} = \\ = \frac{6\sqrt{3}(1 - x^{4})}{(3 + x^{4})^{2}} = \frac{6\sqrt{3}(x^{2} + 1)(1 - x)(1 + x)}{(3 + x^{4})^{2}}}\)

\(\displaystyle{ f''(x) = 0 \iff x = 1 \ \vee \ x = -1\\
f''(x) > 0 \iff x (-1, 1)\\
f''(x) < 0 \iff x (-\infty, - 1)\cup (1, +\infty)}\)

Punkty przegięcia:
\(\displaystyle{ \{-1, 1\}}\)
Funkcja jest wypukła w przedziale:
\(\displaystyle{ [-1,1]}\)
i wklęsła w przedziałach:
\(\displaystyle{ (-\infty, - 1], [1, +\infty)}\)

2.
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{e^{\arctan x}}{1 + x^{2}}\\
f''(x) = \frac{\frac{e^{\arctan x}}{1 + x^{2}}\cdot (1 + x^{2}) - e^{\arctan x}\cdot 2x}{(1 + x^{2})^{2}} = \\
= \frac{e^{\arctan x}(1 - 2x)}{(1 + x^{2})^{2}}}\)
Druga pochodna zeruje się w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przy czym na lewo od tego punktu jest dodatnia a na prawo ujemna, czyli punkt \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}}\) jest punktem przegięcia, funkcja jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ [1,+\infty)}\) i wypukła w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, -1]}\).