Matematyka.pl

Jak w temacie.Bardzo prosze o pomoc.

\(\displaystyle{ n \to + \infty}\)



\(\displaystyle{ a _{n}= n\ln(n^2 +1) -2n\ln(n) \sqrt[n]{\ln(n)}}\)

Wskazówka:

\(\displaystyle{ a_n=\ln \left[ \left(\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{\sqrt[n]{\ln n}}}\right]}\)

To przeksztalcenie na pewno jest poprawne?

Tak

Twoje zadanie polega właściwie na tym, żeby do niego dojść, a nie uwierzyć na słowo dwóm moderatorom z forum

\(\displaystyle{ a_n=\ln \left[ \left(\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{\sqrt[n]{\ln n}}}\right] =\ln \left[ \left(\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n}\right)\cdot \frac{1}{n^{\sqrt[n]{\ln n}}}\right] = \\[2ex]
= \ln \left[ \left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n}\right)\right] + \ln\left[\frac{1}{n^{\sqrt[n]{\ln n}}}\right] = \\[2ex]
= \ln\left(n^2+1\right)^n -\ln\left(n^2\right)^n - \ln\left[n^{\sqrt[n]{\ln n}}\right] = \\[2ex]
= n\ln\left(n^2+1\right) -\ln\left(\left[\left(n^2\right)^n\right]\left[n^{\sqrt[n]{\ln n}}\right]\right) = \\[2ex]
= n\ln\left(n^2+1\right) -\left(2n +\sqrt[n]{\ln n}\right)\ln(n)}\)


A nie powinno byc tak?

Popieram!

Powinno być tak:

\(\displaystyle{ a_n = \ln \left( \frac{n^2+1}{n^{2 \sqrt[n]{ \ln n}}} \right)^n.}\)

Proponuję udowodnić i powołać się na fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = 1}\) oraz istnieje granica

\(\displaystyle{ \ell = \lim_{n \to \infty} \left( x_n - 1 \right) \cdot y_n,}\)

to

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( x_n \right)^{y_n} = e^{\ell},}\)

a zatem w naszym przypadku

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \frac{n^2+1}{n^{2 \sqrt[n]{ \ln n}}} - 1 \right).}\)

Poprawcie mnie jeśli się mylę, ale czy to w jakichś krótkich przekształceniach nie wychodzi z tego, co leg14 udowodnił chwilę temu : 374320.htm. Bo dostaniemy \(\displaystyle{ \ln \left[ \left(\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^\frac{1}{n}\right] +2(\ln n )\cdot a_{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_{n}}\) to ciąg z linka.