Matematyka.pl

Witam

Mam do wyznaczenia moment bezwładności poniższej figury względem osi Zc:



Zadanie mam rozwiązane ale nie mam pojęcia skąd się wzięło Jz obliczone w czerwonej ramce pomógłby mi ktoś to zrozumieć?

Wiemy jakie są wzory na moment bezwładności względem krawędzi zarówno kwadratu jak i trójkąta (krawędzie pokrywające się z osią z) - w tym wypadku są widoczne jako odpowiednio pierwsze i drugie wyrażenie. Odejmowanie wynika z tego, że od kwadratu "odjęliśmy" trójkąt.

...bo momenty bezwładności są skalarami.

W pytaniu "mlodego92" nie o to chodzi.
"mlody" pyta skąd taki wynik.
Otóż wzór na moment bezwładności prostokąta względem osi z do której przynależy podstawa prostokąta b i wysokości h ma postać: \(\displaystyle{ I_z = \frac{b \cdot h^3}{3}}\)
w przypadku, kiedy prostokątem jest kwadrat o boku \(\displaystyle{ 2a}\) podstawa b=2a zaś wysokość h=2a
Podstawiając do tego wzoru w miejsce b i h otrzymamy : \(\displaystyle{ I_z_k_w= \frac{(2a) \cdot (2a)^3}{3}}\).
Dla trójkąta względem osi z w której leży jego podstawa b wzór ma postać \(\displaystyle{ I_z= \frac{b \cdot h^3}{12}}\)
Podstawiając do wzoru dla trójkąta o podstawie 2a i wysokości a \(\displaystyle{ I_z_t_r = \frac{(2a) \cdot a^3}{12}}\), otrzymamy:
\(\displaystyle{ I_z_f_i_g= I_z_k_w-I_z_t_r =\frac{(2a) \cdot (2a)^3}{3}- \frac{(2a) \cdot a^3}{12}}\),
co po prostym wyliczeniu różnicy daje wynik o którego rodowód jest pytanie.
Powód odejmowania momentów wyjaśnił już Kolega "steal".
Pamiętamy oczywista, że osie z pokrywają się dla kwadratu, trójkąta i figury gdyż gdyby tak nie było takie odejmowanie byłoby nieuprawnione..

Aha no tak ja brałem momenty z tablic względem osi centralnych i stąd mój błąd.
Wielkie dzięki Panowie.