Matematyka.pl

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) i każdej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi tożsamość:
\(\displaystyle{ \frac{(1 + i\tg x) ^{n} }{(1 - i\tg x) ^{n} }=\frac{1 + i\tg nx}{1 - i\tg nx}}\)
Proszę o pomoc.

Pomnóż licznik i mianownik lewej strony przez \(\displaystyle{ \cos^{n}x}\), a następnie skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ a ^{n}b ^{n}=(ab)^{n}}\), zależności tangensa od sinusa i cosinsa i z nieparzystości sinusa oraz parzystości cosinusa. Potęgowanie wykonaj z de Moivre'a, a następnie podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos nx=\cos(-nx)}\).

Zgubiłam się przy parzystości sin i cos. Nie wiem jak ją wykorzystać i nie wiem co dalej.

To dalej, że \(\displaystyle{ \cos x-i\sin x=\cos(-x)+i\sin(-x)}\) i dalej de Moivre.

Już mam. Dzięki za pomoc