Matematyka.pl

Wyznacz asymptotę funkcji
\(\displaystyle{ \frac{(x-2)^3}{x^2}}\)

Gdzie pojawia się problem?

Zacznij od wyznaczenia dziedziny.
Asymptoty pionowe można badać w punktach nieokreśloności, w sąsiedztwie których funkcja jest określona, a ukośne jeżeli funkcja jest określona w odpowiednich przedziałach (\(\displaystyle{ (a, + \infty)}\) dla asymptoty ukośnej prawostronnej oraz \(\displaystyle{ (- \infty, a)}\) dla asymptoty ukośnej lewostronnej, gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR}\)).

Bo zrobiłem to zadanie i chyba źle. Najpierw do określenia asymptoty pionowej wyznaczyłem dziedzinę: \(\displaystyle{ x \in \(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)}\)

Później wyliczyłem granicę lewostronną i prawostronną: + infty. - infty.
Przy określeniu asymptoty pionowej miałem problem, bo liczyłem granicę tej funkcji dzieloną przez x, dążącą do nieskończoności, ale nie wiem czy dobrze tę granicę policzyłem - wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{ \to \infty } \frac{\frac{(x-2)^3}{x^2}
}{x}=\lim_{ \to \infty } \frac{(x-2)^3}{x^3}=}\)

I tutaj jest problem bo w sumie nie wiem co dalej. NA kolokwium wyciągnąłem x do potęgi trzeciej przed nawias w liczniku razy \(\displaystyle{ (1 - \frac{2}{x} )}\), więc wyszła mi jedynka. Potem już coś namieszałem.

No to wyliczyłeś w ten sposób wspólczynnik kierunkowy asymptoty ukośnej, teraz policz \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{(x-2)^3}{x^2} {x}-x}\) (\(\displaystyle{ x=1\cdot x}\), gdybyś uzyskał współczynnik kierunkowy równy np. \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), to byś liczył \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{(x-2)^3}{x^2} {x}- \frac{2}{3} x}\)) i to będzie wyraz wolny tej asymptoty.

A jak obliczyć np.\(\displaystyle{ \lim_{ \to \infty } \frac{(x-2)^3}{x^2} - x}\)? Nie wiem co zrobić z tym "minus iks".

Jeżeli istnieje granica \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{x}}\) to może być ona współczynnikiem kierunkowym, wtedy oblicza się granicę wyrażenia (\(\displaystyle{ f(x) - ax}\)), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to wspomniany współczynnik. No i o ile ta granica jest właściwa to asymptotą będzie prosta \(\displaystyle{ y=ax+b}\), gdzie \(\displaystyle{ b}\) to granica tej różnicy.
W Twoim przypadku sprowadź do wspólnego mianownika. No i nie zapominaj o nawiasach, bo teraz odejmujesz \(\displaystyle{ x}\) od jakiejś granicy.