Matematyka.pl

\(\displaystyle{ a_{n}= \sqrt{n+ \sqrt{n} }- \sqrt{n- \sqrt{n} }}\)

Zbadać zbieżność ciągu.

przez sprzezenie podzialaj wtedy bedzie Ci latwiej

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt{n+ \sqrt{n} }- \sqrt{n- \sqrt{n} }= \lim_{n \to \infty } \frac{\left( \sqrt{n+ \sqrt{n} }- \sqrt{n- \sqrt{n} }\right) \cdot \left( \sqrt{n+ \sqrt{n} }+ \sqrt{n- \sqrt{n} }\right) }{\sqrt{n+ \sqrt{n} }+ \sqrt{n- \sqrt{n} }}=}\)

\(\displaystyle{ =\lim_{n \to \infty } \dfrac{2 \sqrt{n} }{ \sqrt{n}\left(\sqrt{1+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} }+\sqrt{1+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} }\right) }=1}\)

Czyli nasz ciąg jest zbieżny.

Nie chcę tworzyć nowego tematu więc podpinam się Jak dać sobie radę z taką granicą ?

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ \sqrt{ n^{2} + 5 } - n }{ \sqrt{ n^{2}+2} - n}}\)

Próbowałem z ilorazu granic, mnożyć przez sprzężenie licznika itp. ale ciągle wychodzi mi 0... a w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\) .

---

Ok dziękuję za pomoc

dwa razy mnozysz przez sprzezenie