Matematyka.pl

Iloraz długości dwóch boków trójkąta wynosi \(\displaystyle{ \frac{\ctg \alpha }{ (1-\ctg \alpha)\cos \alpha }}\), a kąt między tymi bokami ma miarę \(\displaystyle{ 180-\alpha}\) (nie wiem jak napisać symbol stopnia). Wykaż, że jeden z pozostałych kątów trójkąta ma miarę 45 stopni.

Z twierdzenia cosinusów mi niestety nic nie wychodzi. Jakieś rady?

Zauważ, że \(\displaystyle{ \alpha \neq \frac{\pi}{2}}\). Ten stosunek z zadania możesz przekształcić do \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \alpha-1}}\), o ile się nie pomyliłem.
No to bez straty ogólności zakładasz, że jedn z tych boków ma długość \(\displaystyle{ 1}\), drugi ma długość \(\displaystyle{ \sin \alpha-1}\) i z cosinusów powinno właśnie wyjść.
PS
\(\displaystyle{ \sin(180-\alpha)=\sin \alpha\\
\cos(180-\alpha)=-\cos \alpha}\)
A możesz sobie tak założyć o bokach, bo wszystkie trójkąty mające kąt tej samej miary i ten sam stosunek długości boków, między którymi ten kąt jest, są podobne. Wynika to chyba z odwrotnego do Talesa, ale musiałbym sobie rozpisać.
EDIT: lol, każdy lubi jak ujemne boki wychodzą, ja jednak nie powinienem się tu wypowiadać. Pewnie zgubiłem minusa w mianowniku.
EDIT2: no już jasne, w mianowniku miało być \(\displaystyle{ \sin \alpha-\cos \alpha}\)

Myślę, że prędzej będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \alpha-\cos \alpha}}\). Niestety dalej nie wychodzą mi ludzkie wyniki.

Zapis stopna: ^{circ}
\(\displaystyle{ \frac{\ctan \alpha }{(1-\ctan \alpha ) \cos \alpha } = \frac{1}{\sin \alpha -\cos \alpha }}\)
Boki trójkąta przy kącie \(\displaystyle{ 180^{\circ}- \alpha}\) to c i b.
stąd
\(\displaystyle{ \frac{b}{c} =\frac{1}{\sin \alpha -\cos \alpha }
\vee \frac{c}{b} =\frac{1}{\sin \alpha -\cos \alpha }}\)

Z twierdzenia sinusów mam
\(\displaystyle{ \frac{\sin \beta }{b}= \frac{\sin ( \alpha - \beta )}{c}\\ \frac{b}{c} = \frac{\sin \beta }{\sin ( \alpha - \beta )}}\)
porównując je masz
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \alpha -\cos \alpha } = \frac{\sin \beta }{ \sin ( \alpha - \beta ) }}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \alpha - \beta )=\sin \beta (\sin \alpha -\cos \alpha)\\ \sin \alpha (\sin \beta -\cos \beta )=0\\ (\alpha \neq 0 \wedge \alpha \neq 180) \Rightarrow \beta =45^{\circ}}\)
Ty masz do rozwiazania równanie odwrotne:
\(\displaystyle{ \sin \alpha -\cos \alpha = \frac{\sin \beta }{ \sin ( \alpha - \beta ) }}\)

Przepraszam za głupie pytanie, ale w zapisie:
\(\displaystyle{ \frac{\sin \beta }{b}= \frac{\sin ( \alpha - \beta )}{c}\\}\)
Skąd wzięła się prawa strona, tzn. sinus różnicy kątów?

Z treści zadania wiesz że kąt między bokami b i c to \(\displaystyle{ 180- \alpha}\) .
Przyjąłem że kąt naprzeciw b to \(\displaystyle{ \beta}\) , stąd kąt naprzeciw c to \(\displaystyle{ 180-(180- \alpha ) - \beta = \alpha - \beta}\)
Dlatego sinusy kątów \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \alpha - \beta}\) pojawiły się w równaniu z twierdzenia sinusów.

Ps. Przy okazji widzę że źle wyświetliła się pierwsza zależność.
Jest : \(\displaystyle{ \frac{\ctan \alpha }{(1-\ctan \alpha ) \cos \alpha } = \frac{1}{\sin \alpha -\cos \alpha }}\)
Powinno być : \(\displaystyle{ \frac{\ctg \alpha }{(1-\ctg \alpha ) \cos \alpha } = \frac{1}{\sin \alpha -\cos \alpha }}\)

Nie za bardzo jeszcze rozumiem przejście między tymi równaniami:
\(\displaystyle{ \sin ( \alpha - \beta )=\sin \beta (\sin \alpha -\cos \alpha)\\ \sin \alpha (\sin \beta -\cos \beta )=0\\}\)