Matematyka.pl

witam, mam taki problem:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty} \frac{1}{ \sqrt[n]{\exp \frac{n\ln n}{103} } }}\)
ułamek po exp jest jeszcze w nawiasie i mam wykazać że 0 jest granicą powyższego ciągu ale nie mam pojęcia jak się za to zabrać, jakby ktoś mógł pomóc albo chociaż naprowadzić to byłbym wdzięczny

Wskazówka:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\exp \frac{n\ln n}{103}}=\sqrt[103]{n}}\)

ok, a jeszcze jak byś wytłumaczył skąd się ta wskazówka bierze, z jakiego wzoru albo twierdzenia

To są elementarne przekształcenia na logarytmach, funkcji wykładniczej oraz pierwiastkach. Tutaj nie ma żadnej magii.

niby, tak ale jakby chciało Ci się to rozpisać to byłoby fajnie

dziękuje, ale czemu z dzielenia przez 103, nagle nam się robi \(\displaystyle{ \ln n^{1/103}}\) i później czemu podnosimy całe wyrażenie pod pierwiastkiem , a nie samo wyrażenie z ln?

Odśwież sobie, co zacytuję:

yorgin pisze:To są elementarne przekształcenia na logarytmach, funkcji wykładniczej oraz pierwiastkach.

pierwszą część pytania już rozumiem tylko nadal nie mogę znaleźć odpowiedzi na to czemu podnosimy całe wyrażenie pod pierwiastkiem, a nie samą część z ln, więc jakby ktoś mógł wyjaśnić

Z definicji \(\displaystyle{ \exp(x)=e^x}\). Podstaw za iksa to, co trzeba, i sprawdź czy teraz już widać Zapis \(\displaystyle{ \exp(x)}\) nie jest wygodny, jeśli chodzi o przekształcenia, ale jest wygodny, jeśli chodzi o widoczność małych literek w wykładniku potęgi.


Oczywiście można by też to robić tą drogą, którą widzisz:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\exp\left(n\ln n^{1/103}\right)}=\sqrt[n]{\left\exp\left(\ln n^{\left( 1/103\right) \cdot n }\right)}=\sqrt[n]{n^{\left( 1/103\right) \cdot n}}=\sqrt[n]{\left( n^{1/103}\right)^n }=n^{1/103}=\sqrt[103]{n}}\)

Zrozumiałem , Dziękuję za pomoc