Matematyka.pl

Witam. Mam pewien problem informatyczny do rozwikłania, i stanąłem w kropce gdy doszło do matematyki..

mam liczby 2 8 20 40 70 112 168 240 i potrzebuję wymyślić wzór, dzięki któremu w przybliżeniu będę mógł się domyśleć kolejnych cyfr. Dwójka być może nie należeć do ciągu. Nie wiem jak się zabrać, wygląda to trochę logarytmicznie gdyż funkcja z czasem maleje...

proszę o spostrzeżenia

Ciąg ten można zadać taką oto rekurencją:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a _{1}=2 \\ a _{2}=8 \\a _{n}=2a _{n-1}-a _{n-2}+2n, n\ge 3 \end{cases}}\)
Może pójdzie funkcjami tworzącymi, ale głowy nie dam, poza tym wcześnie (heheszki) jest.
Dochodzę do wniosku, że nie chce mi się tego teraz liczyć.
Tu masz dość konkretny post o tym: 369890.htm#p5262310
Tam wprawdzie było jednorodne, ale akurat \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } nx ^{n}}\) to przecież można łatwo policzyć (przy założeniu zbieżności), bo to jest z grubsza \(\displaystyle{ x \sum_{}^{} (x ^{n})'=...}\)

Ciągle jestem w kropce. Może przedstawię background, może się przyda... ciąg ten, to wielkość kolejnych kolekcji elementów utworzonych z danych wejściowych x, y gdzie 1 < x <= y. Przy wymiarze 400x400 algorytm operuje już na milionach elementów i wywala mi heap overflow więc muszę ograniczyć (zaplanować) maksymalną objętość kolejnych kolekcji by były przystosowane dokładnie na tyle elementów ile otrzymają - aktualnie automatyczne powiększanie rozmiaru kolekcji przez system wiąże się z zalewem obliczeniowym nie do przyjęcia przy dużych wymiarach.

Zastanawiam się, czy bez przedstawiania logiki algorytmu, z samej heurystyki da się ogarnąć w przybliżeniu liczby tych rozmiarów (lub delikatnie większe) dla kolejnych elementów ciągu..

wypiszę kilka danych wynikowych dla mniejszych wymiarów:
dla [6] elementów gdzie x=3, y=5 (6 to suma x+y-2)
2 8 17 26 30 22 (dla tak małego wymiaru nie potrzebuję kompatybilności ze wzorem, ale dorzucam dla przykładu)

dla [10] elementów gdzie x=5, y=7
2 8 20 40 65 90 108 110 94 58

dla [14] elementów gdzie x=5, y=11
2 8 20 40 65 90 115 140 165 190 204 194 158 94

dla [14] elementów gdzie x=6, y=10
2 8 20 40 70 106 142 178 214 240 244 224 178 104

dla [17] elementów gdzie x=9, y=10
2 8 20 40 70 112 168 240 321 392 441 466 465 436 377 286 161

dla [18] elementów gdzie x=10, y=10
2 8 20 40 70 112 168 240 330 420 488 532 550 540 500 428 322 180

dla [19] elementów gdzie x=10, y=11
2 8 20 40 70 112 168 240 330 430 519 584 623 634 615 564 479 358 199

dla [19] elementów gdzie x=9, y=12
2 8 20 40 70 112 168 240 321 402 483 552 595 610 595 548 467 350 195

dla [19] elementów gdzie x=8, y=13
2 8 20 40 70 112 168 232 296 360 424 488 539 562 555 516 443 334 187

jest tu trochę zbieżności, dlatego każdy wzór który by zamknął te wartości poniżej (przynajmniej do póki wzrastają), ratowałby ten algorytm. w przeciwnym wypadku będę musiał dla każdej kolekcji ustawić rozmiar maksymalnej (marnotractwo miejsca) i algorytm obliczy co najwyżej wyniki dla 200x200 ;/

dodatkowo wynalazłem jak obliczyć trzy ostatnie liczby, co się sprawdza dla każdych danych
last = ((x - 1) * y) + (x * (y - 1))
last-1 = ((x -2) * y) + ((y - 2) * x) + ((x - 1) * 2 * (y - 1))
last-2 = ((x - 2) * 2 * (y - 1)) + ((y - 2) * 2 * (x - 1)) + ((x - 3) * y) + ((y - 3) * x)

Btw wolfram też liczy (tzn. domyśla się jaki może być wynik) takie rzeczy: na samym dole się wyświetla.

musialmi pisze:Btw wolfram też liczy... .

wow dzieki! szukałem czegoś takiego, na przyszłość też będzie nieocenionym pomocnikiem

-----------------------------------------
używając tego wolframa analizuję na razie sam spadek (ostatnie trzy liczby będę znał)

dla [17] elementów gdzie x=9, y=10
2 8 20 40 70 112 168 240 321 392 441 {466 465 436 377 286 161}
\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{3} \left( -n^3 - 36n^2 + 112n + 1323 \right)}\)

dla [18] elementów gdzie x=10, y=10
2 8 20 40 70 112 168 240 330 420 488 532 {550 540 500 428 322 180}
\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{3} \left( -n^3 - 39n^2 + 94n + 1596 \right)}\)

dla [19] elementów gdzie x=10, y=11
2 8 20 40 70 112 168 240 330 430 519 584 623 {634 615 564 479 358 199}
\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{3} \left( -n^3 -42n^2 + 76n + 1869 \right)}\)

dla [19] elementów gdzie x=9, y=12
2 8 20 40 70 112 168 240 321 402 483 552 595 {610 595 548 467 350 195}
\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{3} \left( -n^3 - 42n^2 + 88n + 1785 \right)}\)

dla [19] elementów gdzie x=8, y=13
2 8 20 40 70 112 168 232 296 360 424 488 539 {562 555 516 443 334 187}
\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{3} \left( -n^3 - 42n^2 + 112n + 1617 \right)}\)

dla [20] elementów gdzie x=9, y=13
2 8 20 40 70 112 168 240 321 402 483 564 632 672 {682 660 604 512 382 212}
\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{3} \left( -n^3 - 45n^2 + 76n + 2016 \right)}\)

jak narazie postęp w konstruowaniu ogólnego wzoru spadku:
[spostrzeżenia jak dotąd]

• wartości trzecich wyrazów w nawiasach się z jakiejś zależności powtarzają (76; 112..)
• ostatni wyraz jest podzielny przez 3 w każdym przypadku..

\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{3} \left( -n^3 - ((x + y - 7) * 3)n^2 + . . .}\)
.-- 26 paź 2014, o 12:51 --Ok, mam problem by zrobić jakiś postęp bez szerszej wiedzy ogólnej. Znalazłem w sieci tą funkcję: proszę o linka do jakiegoś lekkiego programu, w którym mogę wizualizować funkcję na wykresie by móc ją dostosować do moich potrzeb..