Matematyka.pl

Mam problem z zadaniem
Rozważmy ciało \(\displaystyle{ M:=\left\{ A \subseteq \NN: \mathrm{card} \, A<\aleph_{0} \vee \mathrm{card}(X \setminus A)<\aleph_{0}\right\}}\) i niech \(\displaystyle{ \left( a_{n}\right)_{n \in \NN}}\) będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych,
że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}}\) jest zbieżny. Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ \lambda: M \rightarrow \overline{R}}\) określona wzorem \(\displaystyle{ \lambda(A)=\sum_{n \in A} a_{n} 1_{(A)}(n)}\) dla \(\displaystyle{ A \in M}\),
jest addytywna a jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy szereg ten jest bezwzględnie zbieżny
Wiem, że jeżeli zbiory są rozłączne, to funkcja charakterystyczna sumy zbiorów jest sumą funkcji charakterystycznych tych zbiorów, ale nie wiem jaki związek ma zbieżność i bezwzględna zbieżność szeregu odpowiednio dla pierwszego i drugiego przypadku, proszę o pomoc.

Wydaje mi się, że założenie o zbieżności jest istotne, bo w ten sposób szeregi nie przyjmą wartości \(\displaystyle{ + \infty}\) lub \(\displaystyle{ - \infty}\) i w ten sposób nie otrzymamy symbolu nieoznaczonego

Czy tutaj dla udowodnienia addytywności trzeba rozpatrzyć \(\displaystyle{ A,B}\) - skończone \(\displaystyle{ X-A,X-B}\) - skończone oraz \(\displaystyle{ A}\) skończone, \(\displaystyle{ X-B}\) - skończone? Czy wystarczy pokazać, że indykator na sumie zbiorów jest sumą indykatorów na zbiorach bez rozpatrywania przypadków?

nowyyyy4 pisze:[...] niech \(\displaystyle{ \left( a_{n}\right)_{n \in \NN}}\) będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych,
że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}}\) jest zbieżny. Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ \lambda: M \rightarrow \overline{R}}\) określona wzorem \(\displaystyle{ \lambda(A)=\sum_{n \in A} a_{n} 1_{(A)}(n)}\) dla \(\displaystyle{ A \in M}\), [...]

Taka definicja jest bez sensu, dopóki nie podamy, w jakiej kolejności należy sumować wyrazy zbioru \(\displaystyle{ \{ a_{n} 1_{(A)}(n) : n \in A \}}\). Rozumiem, że w kolejności rosnących \(\displaystyle{ n}\)?

Ja mam po \(\displaystyle{ n \in N}\)

To u Ciebie pewnie chodzi o

\(\displaystyle{ \lambda(A) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_A(n)}\).

Corinek pisze:Czy tutaj dla udowodnienia addytywności trzeba rozpatrzyć \(\displaystyle{ A,B}\) - skończone \(\displaystyle{ X-A,X-B}\) - skończone oraz \(\displaystyle{ A}\) skończone, \(\displaystyle{ X-B}\) - skończone? Czy wystarczy pokazać, że indykator na sumie zbiorów jest sumą indykatorów na zbiorach bez rozpatrywania przypadków?

Można w ten drugi sposób. Najpierw pokazujemy, że \(\displaystyle{ 1_{A \cup B}(n) = 1_A(n) + 1_B(n)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) oraz zbiorów rozłącznych \(\displaystyle{ A, B \subseteq \NN}\), a potem liczymy:

\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
\lambda(A \cup B) & \stackrel{(1)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_{A \cup B}(n) \\
& \stackrel{(2)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot \big( 1_A(n) + 1_B(n) \big) \\
& \stackrel{(3)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cdot 1_A(n) + a_n \cdot 1_B(n) \big) \\
& \stackrel{(4)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_A(n) + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_B(n) \\
& \stackrel{(5)}{=} \lambda(A) + \lambda(B),
\end{align*} $}\)

gdzie w kolejnych przejściach korzystamy z:

\(\displaystyle{ (1)}\) definicji \(\displaystyle{ \lambda(A \cup B)}\),
\(\displaystyle{ (2)}\) udowodnionej wcześniej własności,
\(\displaystyle{ (3)}\) rozdzielności mnożenia względem dodawania,
\(\displaystyle{ (4)}\) addytywności szeregów nieskończonych,
\(\displaystyle{ (5)}\) definicji \(\displaystyle{ \lambda(A)}\) i \(\displaystyle{ \lambda(B)}\).

Na ogół w razie wątpliwości, czy dany sposób rozwiązania jest dobry, warto go dokładnie rozpisać, uzasadniając każde przejście - wtedy dobrze widać, czy w rozumowaniu nie ma luki.