Matematyka.pl

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt którego boki mają długość 6 i 2 cm. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyżny podstawy pod katem 30 stopni. oblicz objętość i pole całkowite.

Pole podstawy:

\(\displaystyle{ P _{P}=2 \cdot 6 cm ^{2} =12cm ^{2}}\)

Przekątna prostokąta w podstawie z twierdzenia Pitagorasa:

\(\displaystyle{ d ^{2} =2 ^{2}+6 ^{2} [cm ^{2}]=4+36 [cm ^{2}]=40 cm ^{2}}\)

\(\displaystyle{ d= \sqrt{40} cm= \sqrt{2 ^{2} \cdot 10 }cm=2 \sqrt{10}cm}\)

Wysokość h ostrosłupa obliczam znając kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy:

\(\displaystyle{ \tg30 ^{\circ}= \frac{h}{ \frac{1}{2} d}}\)

\(\displaystyle{ h= \frac{1}{2} d \cdot \tg30 ^{\circ}=\sqrt{10}cm \cdot \frac{ \sqrt{3}}{3}= \frac{ \sqrt{30} }{3} cm}\)

Objętość ostrosłupa:

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} P _{P} \cdot h= \frac{1}{3} \cdot 12cm ^{2} \cdot \frac{ \sqrt{30} }{3} cm = \frac{4 \sqrt{30} }{3} cm ^{3}}\)