Matematyka.pl

Muszę wykazać że \(\displaystyle{ \log_3{5} + \log_2{5}}\) jest liczbą niewymierną.

Próbowałem zrobić z tego jeden logarytm, bo to ułatwiłoby bardzo mocno sprawę, jednak z uwagi na różne podstawy, nie potrafię tego zrobić.
Doprowadzenie do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{\log_5{6}}{\log_5{3} \cdot \log_5{2}}}\)
też na niewiele się chyba zda. Wykazanie że każdy z logarytmów jest niewymierny, to nie będzie dowód, założenie że istniej \(\displaystyle{ w=\log_3{5} + \log_2{5}}\) i rozwiązywanie jak równania też chyba nie przyniesie efektu.

Jakieś pomysły?

\(\displaystyle{ w=\log_3{5} \cdot \log_2{6}}\) może to coś da.
@edit gdzie \(\displaystyle{ w}\) to wyrażenie, o którym mowa.

Hm tego nie rozumiem

Podbijam zadanie. Też nie potrafię wykombinować. Może ktoś coś pomoże?

Spróbuj skorzystać z zależności
\(\displaystyle{ \log _a{b}= \frac{1}{\log _b{a}}}\)

\(\displaystyle{ \log _3{5} + \log _2{5}=\frac{1}{\log _5{3}}+ \frac{1}{\log _5{2}}= \frac{\log _5\left( 3\cdot 2\right) }{\log _53 \cdot \log _52}}\) i pokombinuj dalej...

Dilectus, to właśnie napisałem w pierwszym poście, lecz nie wiem jak dalej to pociągnąć.

Załóżmy nie wprost, że
\(\displaystyle{ \frac{\log_5 6}{\log_5 3 \log_5 2} = \frac{a}{b}}\),
gdzie \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi. Wówczas
\(\displaystyle{ b \log_5 6 = a \log_5 3 \log_5 2}\)
\(\displaystyle{ 5^{b \log_5 6} = 5^{a \log_5 3 \log_5 2}}\)
\(\displaystyle{ 6^b = 2^{a \log_5 3}.}\)
Może z tego coś wyciągniesz.

Kmitah pisze:Załóżmy nie wprost, że
\(\displaystyle{ \frac{\log_5 6}{\log_5 3 \log_5 2} = \frac{a}{b}}\),
gdzie \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi. Wówczas
\(\displaystyle{ b \log_5 6 = a \log_5 3 \log_5 2}\)
\(\displaystyle{ 5^{b \log_5 6} = 5^{a \log_5 3 \log_5 2}}\)
\(\displaystyle{ 6^b = 2^{a \log_5 3}.}\)
Może z tego coś wyciągniesz.

Ta, ale to jeszcze niczego nie udowadnia, bo przy założeniach, że a-całkowite różne od zera, b-naturalne po lewej stronie mamy liczbę naturalną, a po prawej mamy całkowitą do potęgi niewymiernej(Można pokazać, że \(\displaystyle{ \log_5 3}\) jest niewymierny i iloczyn liczby \(\displaystyle{ a}\)-całkowitej różnej od zera i niewymiernej jest niewymierny). Ale całkowita do potęgi niewymiernej też może być naturalna bo np. \(\displaystyle{ 2 ^{\log_2 3}=3 \in N}\), a \(\displaystyle{ \log_2 3}\) jest niewymierny.