Równanie różniczkowe metodą całek pierwszych
: 20 paź 2014, o 21:16
Cześć wszystkim. Mam problem z rozwiązaniem zadania. Zwracam się z prośbą o podpowiedź co do następnego kroku. Potrafię znaleźć pierwszą całkę pierwszą, ale nie mogę wpaść na pomysł jak znaleźć drugą całkę pierwszą.
Zadanie jest następujące: Za pomocą całek pierwszych rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\delta x}{\delta t}= \frac{y-1}{y} \\ \frac{\delta y}{\delta t}= \frac{1}{x-t} \end{cases}}\)
Sprowadzam prawe strony równania do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\delta x}{\delta t}= \frac{(y-1)(x-t)}{y(x-t)} \\ \frac{\delta y}{\delta t}= \frac{y}{y(x-t)} \end{cases}}\)
To pozwala mi zapisać układ charakterystyczny:
\(\displaystyle{ \frac{d t}{y(x-t)}= \frac{d x}{(y-1)(x-t)}= \frac{d y}{y}}\)
To jest mój punkt wyjścia do obliczania całek pierwszych. Poniżej pokażę jak znalazłem pierwszą z nich:
Najpierw przekształcam drugi wyraz tak, że od jego licznika i mianownika odejmuję licznik i mianownik pierwszego wyrazu:
\(\displaystyle{ \frac{d x-d t}{(y-1)(x-t)-y(x-t)}= \frac{d(x-t)}{-(x-t)}}\)
Tak przekształcony wyraz przyrównuję do trzeciego wyrazu:
\(\displaystyle{ \frac{d(x-t)}{-(x-t)}=\frac{d y}{y}}\)
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, więc mogę je obustronnie scałkować:
\(\displaystyle{ \int \frac{d(x-t)}{-(x-t)}= \int \frac{d y}{y}}\)
\(\displaystyle{ \ln (\frac{1}{x-t}) = \ln( \frac{1}{C_{1}} y)}\)
\(\displaystyle{ C_{1}=(x-t)y}\)
Będę wdzięczny za pokazanie, jak ruszyć dalej z tym zadaniem i znaleźć drugą całkę pierwszą.
Z góry dzięki
Zadanie jest następujące: Za pomocą całek pierwszych rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\delta x}{\delta t}= \frac{y-1}{y} \\ \frac{\delta y}{\delta t}= \frac{1}{x-t} \end{cases}}\)
Sprowadzam prawe strony równania do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\delta x}{\delta t}= \frac{(y-1)(x-t)}{y(x-t)} \\ \frac{\delta y}{\delta t}= \frac{y}{y(x-t)} \end{cases}}\)
To pozwala mi zapisać układ charakterystyczny:
\(\displaystyle{ \frac{d t}{y(x-t)}= \frac{d x}{(y-1)(x-t)}= \frac{d y}{y}}\)
To jest mój punkt wyjścia do obliczania całek pierwszych. Poniżej pokażę jak znalazłem pierwszą z nich:
Najpierw przekształcam drugi wyraz tak, że od jego licznika i mianownika odejmuję licznik i mianownik pierwszego wyrazu:
\(\displaystyle{ \frac{d x-d t}{(y-1)(x-t)-y(x-t)}= \frac{d(x-t)}{-(x-t)}}\)
Tak przekształcony wyraz przyrównuję do trzeciego wyrazu:
\(\displaystyle{ \frac{d(x-t)}{-(x-t)}=\frac{d y}{y}}\)
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, więc mogę je obustronnie scałkować:
\(\displaystyle{ \int \frac{d(x-t)}{-(x-t)}= \int \frac{d y}{y}}\)
\(\displaystyle{ \ln (\frac{1}{x-t}) = \ln( \frac{1}{C_{1}} y)}\)
\(\displaystyle{ C_{1}=(x-t)y}\)
Będę wdzięczny za pokazanie, jak ruszyć dalej z tym zadaniem i znaleźć drugą całkę pierwszą.
Z góry dzięki