Matematyka.pl

Rozwiąż nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} ^{x}- \frac{1}{9} ^{x}+ \frac{1}{27} ^{x}- \frac{1}{81} ^{x}+... \ge 3 ^{2-x} -0,9}\)

Z góry dziękuje za pomoc

Wnioskuję, że ten \(\displaystyle{ x}\) tyczy się całego ułamka.. Zatem lewa strona wygląda jak suma ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ a_1=\frac{1}{3^x}}\) i ilorazie \(\displaystyle{ q=-\frac{1}{3}}\).
Korzystając ze wzoru na nieskończoną sumę takiego ciągu mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3^x}}{1-(-\frac{1}{3})} \ge 3^{2-x}-0,9}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{4\cdot 3^{x}} \ge 3^{2-x} - 0,9}\)

\(\displaystyle{ 3^{1-x} \ge 4\cdot 3^{2-x} - 3,6}\)

\(\displaystyle{ 3\ge 4\cdot 9 - 3,6 \cdot 3^x}\)

\(\displaystyle{ 3,6 \cdot 3^x \ge 12}\)

\(\displaystyle{ 3^x \ge \frac{10}{3}}\)

\(\displaystyle{ x \ge \log_3 {10} - 1}\)