Matematyka.pl

Osiem osób siada na ośmiu krzesłach ustawionych przy okrągłym stole. Obliczyć, na ile sposobów mogą one usiąść tak, aby: a) ustalone dwie osoby siedziały obok siebie, b) ustalone trzy osoby siedziały obok siebie, c) ustalone dwie osoby były rozdzielone przez trzy inne, d) ustalone dwie osoby były rozdzielone przez ustalone trzy inne.

moja propozycja:
a) wybieram 1 z 8 miejsc (8 po 1) potem druga osobe sadzam z lewej/prawej (*2) a reszte mieszam jak chce (!6)
wynik razem jest ok.
\(\displaystyle{ {8 \choose 1} \cdot 2 \cdot 6!}\)
b) wybieram 1 z 8 miejsc tam sadzam osobe, potem 1 z 4 miejsc i tam sadzam 2 osobe, a 3-cia osoba musi usiasc gdzie siada. reszte permutuje (5!)
i wynik jest zły
\(\displaystyle{ {8 \choose 1} \cdot {4 \choose 1} \cdot 5!}\)
prawidłowy to 5760

c) wybieram 1 z 8 miejsc, potem wybieram 1 z 2 miejsc oddalonych o "3 miejsca" pozostale osoby mieszam.
\(\displaystyle{ {8 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} \cdot 5!}\)

d) wybieram 1 z 8 miejsc, potem wybieram 1 z 2 miejsc oddalonych o "3 miejsca" pozostale osoby mieszam, ale tez wybieram te 3 osoby z pozostalych.
\(\displaystyle{ {8 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} \cdot {6 \choose 3} \cdot 3! \cdot 2!}\)

Podpunkt b):
Miejsce trzeciej osoby nie jest wymuszone. Jeśli osoba \(\displaystyle{ 2}\) usiądzie na prawo od osoby \(\displaystyle{ 1}\), to osoba \(\displaystyle{ 3}\) może usiąść na prawo od \(\displaystyle{ 2}\) albo na lewo od \(\displaystyle{ 1}\). Proponuję układ następujący:
\(\displaystyle{ 3}\) kolejne miejsca można wybrać na \(\displaystyle{ 8}\) sposobów- wybierając miejsce pierwsze, a za nim na prawo \(\displaystyle{ 2}\) kolejne. Potem te osoby permutujemy na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów.