Matematyka.pl

Sprawdzić czy \(\displaystyle{ \gamma (x _{n}) = \sum_{1}^{ \infty } \frac{\left| x _{n}\right| }{n}}\) jest normą w przestrzeni ciągów rzeczywistych.

1.Warunek pierwszy wydaje się być oczywisty, suma będzie zerem jeśli każdy składnik będzie zerem (bo mamy moduł) więc \(\displaystyle{ x _{n}}\) musi być stale równy zero.

2. \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{\left| \alpha \cdot x _{n}\right| }{n} = \sum_{1}^{ \infty } \frac{\left| \alpha \right| \cdot \left| x _{n}\right| }{n}= \left| \alpha \right| \sum_{1}^{ \infty } \frac{\left| x _{n}\right| }{n}}\)

3. Nierówność też wydaje się ok, bo z nierówności modułów mam \(\displaystyle{ \left| x _{n} + y _{n}\right| \le \left| x _{n}\right| + \left| y _{n}\right|}\)

Ale gdzieś chyba robię błąd, poza tym jest też pytanie o to, co zmieni się, kiedy będziemy rozważali przestrzeń ciągów ograniczonych?

W obu przypadkach odwzorowanie \(\displaystyle{ \gamma}\) nie jest dobrze określone. Tj wypisany szereg nie musi być zbieżny.

Czyli trzeba by rozważać np \(\displaystyle{ \gamma(x _{n})= \sum_{1}^{ \infty } \frac{\left| x _{n}\right| }{n ^{2}}}\)?

I wtedy w przestrzeni ciągów ograniczonych by działało?

Wtedy tak.