Matematyka.pl

Wykaż, że \(\displaystyle{ log2}\) jest liczbą wymierną

Podobne zadanie znalazłem w tym dziale, ale nic to nie dało. Problem polega na tym że nie wiem jak się za to zabrać. Próbowałem z def. logarytmu.

\(\displaystyle{ log_{a}b=c \Leftrightarrow a^{c}=b}\)

\(\displaystyle{ log2=x \Leftrightarrow 10^{x}=2 \Rightarrow}\)

Raczej nic mi to nie mówi i nie wiem czy wogóle to ma jakiś sens

Dobrze zacząłeś. Teraz nie wprost, przypuśćmy, że \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą wymierną, czyli\(\displaystyle{ x=\frac{p}{q}, \ p,q \in \ZZ, \ q \neq 0, \ NWD\left( p,q\right)=1}\).
Wówczas wstawiamy i podnosimy do potęgi \(\displaystyle{ q}\) równanie. Wnioski pozostawiam do samodzielnego wyciągnięcia.

\(\displaystyle{ 10 ^{p}= 2 ^{q}}\)

Czyli jak w tym równaniu będzie sprzeczność, lewa albo prawa strona będzie nie parzysta a druga parzysta to liczba jest niewymierna?

Niekoniecznie muszą się różnic parzystością (tutaj tak wcale być nie musi). Sprawdź podzielność lewej i prawej strony przez \(\displaystyle{ 5}\).

Dzieląc przez pięć obie stronę nie ważne do której potęgi podniosę prawą stronę to i tak nie będzie podzielna przez 5. czyli nie mają wszystkich wspólnych cech mimo że są parzyste to mają rożne dzielniki. Czyli jest nieparzysta

Dobrze myślę ?

\(\displaystyle{ 10^p=2^q}\)

z lewej strony ostatnią cyfrą zawsze będzie zero, z prawej zero na końcu nie wystąpi nigdy, czyli ta równość jest fałszywa. Oznacza to, że \(\displaystyle{ \log2}\) jest liczbą niewymierną.