Matematyka.pl

Rozłóż wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4+x^3+1}\).

Się nie da...

Zdaje się, że twierdzenie
Każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ n \ge 3}\) daje się przedstawić za pomocą iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
jest prawdziwe dla wszystkich współczynników rzeczywistych.

Dla dowolnego wielomianu żądany rozkład co prawda istnieje, ale jeśli wielomian jest stopnia co najmniej piątego, to nie istnieje algorytm pozwalający konstruktywnie wyznaczać taki rozkład, o czym mówi .

Ale ten akurat wielomian jest stopnia niższego niż \(\displaystyle{ 5}\), a na to są co prawda paskudne, ale jednak .

Q.

Okej, otrzymałem
\(\displaystyle{ u^4 - \frac{3}{8}u^2 + \frac{1}{8}u + \frac{253}{256}}\), gdzie \(\displaystyle{ u=x+\frac{1}{4}}\)
i co mi to właściwie dało?

No przecież na Wikipedii jest opisane jak wygląda dalsze postępowanie. Ewentualnie możesz też znaleźć zrobione przykłady na forum:
227371.htm
345000.htm

Q.

Zakładając że dobrze podstawiłeś możesz teraz porównać ten wielomian z
iloczynem dwóch trójmianów kwadratowych
\(\displaystyle{ u^4 - \frac{3}{8}u^2 + \frac{1}{8}u + \frac{253}{256}=\left( u^2-pu+q\right)\left( u^2+pu+r\right)}\)

Po wymnożeniu trójmianów i porównaniu współczynników dostajesz układ równań
którego rozwiązanie na ogół wymaga rozwiązania równania trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ \begin{cases} q-p^{2}+r = - \frac{3}{8} \\ pq-pr= \frac{1}{8} \\ qr= \frac{253}{256} \end{cases}}\)
Metoda wyznaczników odpada (no, chyba że jest taka, która uwzględnia iloczyny niewiadomych?)
Zatem wyrugowałem z tego układu \(\displaystyle{ r}\) i otrzymałem:
\(\displaystyle{ \begin{cases}q-p^{2}+\frac{253}{256q}=-\frac{3}{8} \\pq- \frac{253p}{256q}= \frac{1}{8} \end{cases}}\)
Nawet jeżeli rozszerzę to tak, by pozbyć się ułamków nic mi nie świta.

Bądźcie wyrozumiali - 3 klasa liceum.

\(\displaystyle{ p}\) staje się twoim parametrem , uzależniasz od niego pozostałe współczynniki
Po uzależnieniu wszystkich współczynników , wstawiając otrzymane zależności do
równania na wyraz wolny otrzymujesz równanie szóstego stopnia względem \(\displaystyle{ p}\)
które łatwo zredukować do równania trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ \begin{cases} q-p^{2}+r = - \frac{3}{8} \\ pq-pr= \frac{1}{8} \\ qr= \frac{253}{256} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q+r = - \frac{3}{8}+p^2 \\ p\left( q-r\right) = \frac{1}{8} \\ qr= \frac{253}{256} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q+r = - \frac{3}{8}+p^2 \\ q-r = \frac{1}{8p} \\ qr= \frac{253}{256} \end{cases}}\)

Teraz dodaj stronami pierwsze dwa równania a otrzymasz \(\displaystyle{ q}\)
Odejmij drugie od pierwszego a otrzymasz \(\displaystyle{ r}\)


Jedna uwaga na wypadek gdybyś miał jeszcze jakieś
wielomiany czwartego stopnia do rozłożenia

Jeśli po podstawieniu \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
otrzymasz równanie \(\displaystyle{ y^2+b_{2}y^2+b_{1}y+b_{0}}\)
gdzie \(\displaystyle{ b_{1}=0}\)
to sprowadzaj do kwadratowego np podstawieniem bez zabawy w rozkład na iloczyn dwóch trójmianów-- 15 października 2014, 10:57 --Konradek, trygonometrię miałeś ?
Może ci się przydać jeśli po zredukowaniu równania trzeciego stopnia do
równania kwadratowego równanie kwadratowe będzie miało ujemny wyróżnik