Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego przykładu.
Oto moja bezskuteczna próba:

\(\displaystyle{ \sin 3x=\cos \left( 2x+ \frac{ \pi }{4} \right) \newline
\sin \left( 2x+x \right) =\cos \left( 2x+\frac{ \pi }{4} \right) \newline
\sin 2x\ \cos x+\cos 2x\ \sin x=\cos \left( 2x+\frac{ \pi }{4} \right) \newline
2\sin x\ \cos ^2x + \cos ^2x-\sin ^3x=\cos \left( 2x+\frac{ \pi }{4} \right) \newline
2\sin x \left( 1-\sin ^2x \right) +1-\sin ^2x-\sin ^3x=\cos \left( 2x+\frac{ \pi }{4} \right) \newline
2\sin x-2\sin ^3x+1-\sin ^2x-\sin ^3x=\cos \left( 2x+\frac{ \pi }{4} \right) \newline
-3\sin ^3x-\sin ^2x+2\sin x+1=\cos \left( 2x+\frac{ \pi }{4} \right) \newline}\)

Mógłbym jeszcze po prawej stronie zastosować \(\displaystyle{ \cos(\alpha+\beta)}\) ale to tylko bardziej komplikuje sprawę.
Nie mam pomysłu jak to rozwiązać..

Też na razie nie widzę jak to ruszyć - ale popsułeś przekształcenie lewej strony - poszukaj wzoru na sinusa potrojonego argumentu), może wtedy na coś wpadniesz.

Korzystam ze wzoru redukcyjnego:

\(\displaystyle{ \sin \alpha =\cos \left( \frac{3}{2} \pi + \alpha \right)}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \sin 3x =\cos \left( \frac{3}{2} \pi + 3x \right)}\)

\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{3}{2} \pi + 3x \right) =\cos \left( 2x+ \frac{ \pi }{4} \right)}\)


\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{3}{2} \pi + 3x \right) -\cos \left( 2x+ \frac{ \pi }{4} \right) =0}\)

I teraz z tego wzoru:

\(\displaystyle{ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}}\)

Nie możesz tak znikać cosinusów.

Na jedną stronę i różnica cosinusów.

\(\displaystyle{ \sin x = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}\)

\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\pi}{2} - 3x \right) = \cos \left( 2x+ \frac{ \pi }{4} \right)}\)

\(\displaystyle{ \cos \left( 3x - \frac{\pi}{2} \right) - \cos \left( 2x+ \frac{ \pi }{4} \right) = 0}\)

i można teraz skorzystać ze wzoru na różnicę cosinusów doprowadzając lewą stronę do postaci iloczynowej