Matematyka.pl

Witam, mam określić (naturalną) dziedzinę funcji. Ogólnie rzecz biorąc potrafię ją wyznaczyć, ale nie bardzo wiem co robić, gdy pojawiają się logarytmy, pierwiastki. Wiem, że jeżeli jest pierwiastek, to po prostu to co pod nim stoi musi być większe, bądź równe \(\displaystyle{ 0}\). Co w sytuacji, kiedy mamy logarytm pod pierwiastkiem?

\(\displaystyle{ f_{ \left( x \right) }= \sqrt{\log _{3} \left( \frac{1-3x}{x+2} \right) }}\)

wiem, że:
\(\displaystyle{ x \neq 2 \\
\log _{3} \left( \frac{1-3x}{x+2} \right) \ge 0}\)??

Czy mam to przyrównać do zera i pomnożyć przez mianownik?
Wiem jak wygląda wykres logarytmu (więc już jest prościej), ale co dalej?

\(\displaystyle{ 0}\) zapisz w postaci logarytmu o podstawie \(\displaystyle{ 3}\) czyli \(\displaystyle{ \log _{3}1}\) i liczysz dalej nierówność.

\(\displaystyle{ \frac{1-3x}{x+2} \ge 1}\)

oczywiście uwzględniając założenia

\(\displaystyle{ x+2 \neq 0 \rightarrow x \neq -2}\)

Liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem:

\(\displaystyle{ \frac{1-3x}{x+2} >0}\)

\(\displaystyle{ x \in \left( -2, \frac{1}{3} \right)}\)

Liczba pod pierwiastkiem kwadratowym musi być większa bądź równa zero:

\(\displaystyle{ \log _{3} \frac{1-3x}{x+2} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \log _{3} \frac{1-3x}{x+2} \ge \log _{3} 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-3x}{x+2} \ge 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-3x}{x+2} -1 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-3x-x-2}{x+2} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{-4x-1}{x+2} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ x \in \left( -2,- \frac{1}{4}\right\rangle}\)

Zbierając wszystko mamy ostatecznie dziedzinę:

\(\displaystyle{ x \in \left( -2,- \frac{1}{4}\right\rangle}\)

Dzięki wielkie. Śmieszny myk z tym logarytmem