Matematyka.pl

Witam,
mam znaleźć liczbę rozwiązań równania:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_{10}=40}\)

A nie masz tam czasem napisane np. coś takiego: \(\displaystyle{ x_{i} \in \NN \wedge i \in \{1, 2, ...., 40\}}\) ?

Mam napisane \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_{10}=40 ; x \in p}\)
odpowiedzi prawda/falsz
\(\displaystyle{ a){50 \choose 40}
b){50 \choose 10}
c){49 \choose 9}
d){39 \choose 9}}\)

Morisson, możesz wyjaśnić co miał przedstawiać zapis:

\(\displaystyle{ x \in p}\)

?

Zbiór liczb całkowitych dodatnich.

Mi się zdaje, że to będzie odpowiedz d) \(\displaystyle{ {39 \choose 9}}\) bo mamy rozłożyć liczbę \(\displaystyle{ 40}\) na sumę \(\displaystyle{ 10}\) składników będących liczbami całkowitymi dodatnimi czyli każdy ze składników \(\displaystyle{ x_{i} \ge 1}\). Spełniając warunek, że każdy ze składników ma być co najmniej równy jeden wstawiamy do każdego ze składników liczbę 1 co daje nam w sumie 10 czyli do roztawienia pozostaje liczba 30. Rozstawienie tego do 10 przegródek to kombinacje które wyrażają się wzorem \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose n-1}}\)gdzie n-liczba przegródek u nas 10, k-liczba jednostek u nas 30. A zatem będzie \(\displaystyle{ {39 \choose 9}}\).

Nigdy nie widziałem takiego zapisu przedstawiającego liczby całkowite dodatnie o.o
\(\displaystyle{ x \in p}\) ??

Liczby całkowite dodatnie to po prostu liczby naturalne dodatnie, czyli

\(\displaystyle{ x \in \NN_+}\) lub \(\displaystyle{ x \in \ZZ_+}\)

Może ktoś to potwierdzić ja wzór w zeszycie \(\displaystyle{ {n +m -1 \choose m-1}}\) co dawałoby \(\displaystyle{ {49 \choose 9}}\)

Tak. Nasz rozkład na sumy możemy utożsamić z ciągiem zero-jedynkowym. \(\displaystyle{ x_{1}}\) jedynek i zero, \(\displaystyle{ x_{2}}\) jedynek, zero . itd. Tak otrzymaliśmy liczbę zero-jedynkową \(\displaystyle{ m+n-1}\)z \(\displaystyle{ m-1}\)zerami. Każdy + to zero. Wybierasz delegację tych pozycji, które będą zerami

Czyli ostatecznie jednak jest to odpowiedź \(\displaystyle{ {49 \choose 9}}\), tak?

Dokładnie

Całkowitych dodatnich będzie \(\displaystyle{ \binom{39}{9}}\), natomiast całkowitych nieujemnych będzie \(\displaystyle{ \binom{49}{9}}\).

No ta, ale autor tematu napisał, że składniki mają być całkowite dodatnie czyli będzie \(\displaystyle{ {39 \choose 9}}\).