Matematyka.pl

Ok, więc zawiesiłem się na następującym zadaniu
W przestrzeni funkcji \(\displaystyle{ C_0 (0,1]}\) z normą supremum i wiedząc, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\) każdą z funkcji z tej przestrzeni rozszerzamy następująco:
\(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{l} f(x), x \in [0,1]\\f(1), x>1\\-f(-x), x<0 \end{array}\right.}\)
Udowodnij, że operatory \(\displaystyle{ A_n}\) zdefiniowane wzorem \(\displaystyle{ A_nf= \frac{1}{2} \left[ f \left( x+ \frac{1}{n} \right) +f \left( x- \frac{1}{n} \right) \right]}\) zbiegają w mocnej topologii do operatora identycznościowego tzn. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \|A_n f - f\|=0}\), ale nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \|A_n-I\|=0}\)
Zbieżność punktową do pierwszej części zadania pokazać chyba łatwo.
\(\displaystyle{ \lim_{0 \to \infty } \frac{1}{2} \left[ f \left( x+ \frac{1}{n} \right) +f \left( x- \frac{1}{n} \right) \right] = \frac{1}{2} \cdot 2f(x)=f(x)}\)
Czyli \(\displaystyle{ A_nf}\) punktowo dąży do \(\displaystyle{ f}\).
Wydaje mi się, że następnie trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ \|A_nf-f\|}\) jest mniejsze od epsilona? Jeśli tak to jakieś wskazówki?
Nie wiem też za bardzo jaki kontrprzykład podać do drugiej części zadania.

Część pierwsza. Najpierw ustalamy \(\displaystyle{ \epsilon}\). Z ciągłości \(\displaystyle{ f}\) wiemy, że znajdziemy taką \(\displaystyle{ \delta}\), że \(\displaystyle{ |f(x+\frac{1}{n})-f(x)|<\epsilon}\) oraz
\(\displaystyle{ |f(x-\frac{1}{n})-f(x)|<\epsilon}\)
Stąd
\(\displaystyle{ ||A_{n}f-f||=||\frac{f(x+\frac{1}{n})}{2}-\frac{f(x)}{2}
+\frac{f(x)}{2}-\frac{f(x-\frac{1}{n})}{2}||<\epsilon}\)
Gdzie ostatnia nierówność to najprostsza nierówność trójkąta.-- 20 września 2014, 21:22 --Część druga
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ ||A_{n}f-f||\to 0.}\) Zdefiniujmy ciąg funkcyjny:

\(\displaystyle{ f_{n}(x)= \begin{cases} 1\;\mbox{dla}\;x\geq\frac{1}{2}\\
n(x-\frac{1}{2}+\frac{1}{n})\;\mbox{dla}\;x\in\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{n},\frac{1}{2}\bigg)\\
0\;\mbox{dla}\;x\leq\frac{1}{2}-\frac{1}{n}
\end{cases}}\)
Oczywiście ciąg leży na sferze jednostkowej w tej przestrzeni. Stąd można użyć go do szacowania normy operatora.
\(\displaystyle{ ||A_{n}f-f||\geq||A_{n}f_{n}-f_{n}||\geq\frac{1}{2}\bigg|\bigg|f_{n}(\frac{1}{2}+\frac{1}{n})-f_{n}(\frac{1}{2})+f_{n}(\frac{1}{2})-f_{n}(\frac{1}{2}-\frac{1}{n})\bigg|\bigg|=\frac{1}{2}(1-1+1-0)=\frac{1}{2}}\)