Matematyka.pl

Witam, mam granice do obliczenia i przydała by mi się drobna pomoc.

\(\displaystyle{ \lim_{x \to\pi} \frac{\sin x}{1- \frac{x^2}{\pi^2} } }}\)

Zrób podstawienie \(\displaystyle{ t=x- \pi}\), a potem skorzystaj ze wzoru na sinus sumy. Wszystko wspaniale wychodzi

Możesz też zadziałać Szpitalnikiem
\(\displaystyle{ \lim_{x \to\pi} \frac{\sin x}{1- \frac{x^2}{\pi^2} } }= \left[ \frac{0}{0} \right] =(H)\lim_{x \to\pi} \frac{\cos x}{- 2\frac{x}{\pi^2} } }= \frac{-1}{ \frac{-2}{ \pi } } = \frac{ \pi }{2}}\)

\(\displaystyle{ t = x - \pi \Rightarrow
x = t+\pi \\
gdy \ x \to \pi \ to \ t \to 0 \\
\lim_{t \to 0 } \frac{\sin (t+\pi)}{1- \frac{(t+\pi)^2}{\pi ^2}}
\\
\lim_{t \to 0} \frac{\sin t \cos \pi + \sin \pi \cos t}{1-\frac{t^2 +2t\pi + \pi ^2}{\pi ^2 }}
\\
\lim_{t \to 0} \frac{\sin t \cos \pi + \sin \pi \cos t}{1-\frac{t^2}{\pi ^2 }-\frac{2t}{\pi}-1} = \left[ \frac{0}{0} \right]
\\}\)
to jest porostu 0 ?

\(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) jest nieoznaczone, nie wiadomo ile to wynosi. Potrzeba to przekształcić, najlepiej w sposób, w jaki zrobił to rafalpw, zauważyć pewną specyficzną granicę i rozwiązane Podstawienie zostało zastosowane, żeby właśnie użyć tej granicy specjalnej.

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t \cos \pi + \sin \pi \cos t}{1-\frac{t^2}{\pi ^2 }-\frac{2t}{\pi}-1}=\lim_{t \to 0} \frac{\sin t (\cos \pi + \frac {\sin \pi \cos t}{\sin t})}{-\frac {t}{ \pi}( \frac{t}{\pi}+2)} =\lim_{t \to 0} \frac {-\pi \sin t (\cos \pi + \frac {\sin \pi \cos t}{\sin t})}{t(\frac{t}{\pi}+2)}}\)

I wszystko ładnie wyszło dzięki.