Matematyka.pl

przeszukałam całe forum i bacznie czytalam każdą wskazówke mimo tego dalej nie mogę pojąć jak mam zrobić zadania z pierwiastekim liczb zespolonych kiedy cosinus i sinus nie wychodzi mi standardowo ze tak powiem.
usiluje to zrozumiec ale jakos mi nie dizie niestety.. siedze siedze i sie wkurzam bylabym wdzieczna gdyby ktos zechcial mi wytlumacyzc jak blondynce jak co i gdzie po ci i skad sie wzielo bo musze rozgryzc te zadania ... oto przykład :


\(\displaystyle{ \sqrt[3]{4+i}}\)

bardzo prosze o odpowiedzec..

Temat poprawiłem
luka52

Załóżmy, że mamy liczbę zespoloną postaci \(\displaystyle{ z=a+bi}\), aby wyliczyć z niej pierwiastek n-tego stopnia wykonujemy kolejno następujące czynności
I. Wyliczamy sobie moduł liczby zespolonej ze wzoru \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
II. Wyliczamy \(\displaystyle{ \sin \psi}\) i \(\displaystyle{ \cos \psi}\) i na podstawie tego odczytujesz wartość \(\displaystyle{ \psi}\). Przypomnę, ze \(\displaystyle{ \sin \psi=\frac{a}{|z|}}\) a \(\displaystyle{ \cos \psi=\frac{b}{|z|}}\)
III. Podstawiamy wszystko do wzoru: \(\displaystyle{ W_{k}=\sqrt[n]{|z|} \left( \cos \left( \frac{\psi+2k\pi}{n} \right) +i\sin \left( \frac{\psi+2k\pi}{n} \right) \right)}\) gdzie \(\displaystyle{ W_{k}}\) jest pierwiastiem nr k.

to to ja wiem mnie chodzio rozwioazanie na liczbach taki przyklad mialam na kolokwium i chodzi mi zeby kto go rozwiazal mi sie wydaje ze to trzeba podniesc stronami do potegi.. tylko niewiem czy napewno .. dlatego chcialabym by ktos to orziwazal a ja bym reszte juz umiala zrobic analogicznie :>

dla przykładu pierwiastek \(\displaystyle{ \sqrt[3]{4+i}}\) ma trzy rozwinięcia
podstawiamy do wzoru z poprzedniego postu na pierwiastki:
\(\displaystyle{ z=4+i}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{17}}\) oraz
\(\displaystyle{ \sin \psi=\frac{4}{\sqrt{17}}\ \wedge\ \cos \psi=\frac{1}{\sqrt{17}}}\) \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow\ \arcsin \frac{4}{\sqrt{17}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{17}}=\alpha}\) (lepiej gdyby wyszła konkretna liczba)

dla \(\displaystyle{ k=1}\) mamy \(\displaystyle{ W_{1}=\sqrt[3]{\sqrt{17}} \left( \cos \left( \frac{\alpha+2\pi}{3}} \right) +i\cdot\sin \left( \frac{\alpha+2\pi}{3} \right) \right)}\),
dla \(\displaystyle{ k=2}\) mamy \(\displaystyle{ W_{2}=\sqrt[3]{\sqrt{17}} \left( \cos \left( \frac{\alpha+4\pi}{3}} \right) +i\cdot\sin \left( \frac{\alpha+4\pi}{3} \right) \right)}\),
dla \(\displaystyle{ k=3}\) mamy \(\displaystyle{ W_{3}=\sqrt[3]{\sqrt{17}} \left( \cos \left( \frac{\alpha+6\pi}{3}} \right) +i\cdot\sin \left( \frac{\alpha+6\pi}{3} \right) \right)}\)

ludki, jak macie w nawiasach wyrazenia wysokie w sensie np pietrowe ulamki, to piszcie przed lewyn mawiasem ft( a przed prawym
ight)
to na prawde sensowniej wyglada:) pozdrawiam

A coś takiego? Pewnie tak samo, ale w odpowiedziach jest bardzi ładna liczba i to w postaci sumy...

\(\displaystyle{ \sqrt{(-3-4i)}}\)

Jeśli chodzi o pierwiastki kwadratowe, to gdy nie ma ładnych wartości funkcji trygonometrycznych, przy zamianie na postać trygonometryczną, należy zarzucić okiem tutaj:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=23611
i wszystko jasne ; )


Ależ jestem nieskromny ; p

Na wstępie chciałem przeprosić Rogal'a, że "pominąłem" jego post, ale niestety nie zrozumiałem jego tematu https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=23611 ...

corner pisze:A coś takiego? Pewnie tak samo, ale w odpowiedziach jest bardzi ładna liczba i to w postaci sumy...

\(\displaystyle{ \sqrt{(-3-4i)}}\)

Chciałbym bardzo, bardzo, bardzo prosić - o rozwiązanie podanego powyżej przykładu (zadania 8.14 z Analizy mat. w zadaniach, Krysickiego i Włodarskiego).

Wydaje mi się, że w miarę rozumiem samą ideę pierwiastkowania liczb zespolonych, ale kiedy przychodzi do "niestandardowych" wartości argumentu l. zespolonej... odpadam zupełnie.

\(\displaystyle{ z=\sqrt{-3-4i}}\)

\(\displaystyle{ \vert z \vert$=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5}\)

\(\displaystyle{ \cos \varphi=-\frac{3}{5}}\)

\(\displaystyle{ \sin \varphi =-\frac{4}{5}}\)

I tu pojawia się problem... Nie bardzo mi to idzie dalej. φ wychodzi 53-54°



Prosiłbym więc bardzo o wyjaśnienie jak dojść do książkowego wyniku: \(\displaystyle{ 1-2i}\)

Z góry serdecznie dziękuję

Bardzo łatwo:

\(\displaystyle{ z=\sqrt{-3-4i}}\)
\(\displaystyle{ z=\sqrt{(1-2i)^{2}}=1-2i}\)

Bo przecież \(\displaystyle{ i=\sqrt{-1}}\)

Przyznam, że oczekiwałem bardziej złożonej i skomplikowanej odpowiedzi, a tu proszę .

O tym nie pomyślałem. Podejście zupełnie inne, w pewnym sensie prostsze, a z pewnością bardziej praktyczne. Z drugiej strony trzeba mieć trochę "obycia" z liczbami zespolonymi, bo nowicjuszowi nie rzuci się to w oczy.

Dzięki wielkie, postaram się patrzeć na takie przykłady właśnie pod tym kątem .

Oczywiście są dwie wartości tego pierwiastka. Dochodzi jeszcze: \(\displaystyle{ -1+2i}\).

Jopekk pisze:Oczywiście są dwie wartości tego pierwiastka. Dochodzi jeszcze: \(\displaystyle{ -1+2i}\).

Właśnie miałem napisać, że znalazłem inną metodę obliczania tych pierwiastków i jakby przypomniało mi się, że ich powinno być tyle ile wynosi stopień pierwiastka .

Ale do rzeczy... opiszę, bo może komuś się kiedyś przyda (choć pewnie żadne odkrycie).

Znalezione w Algebrze liniowej 1, przykłady i zadania - Jurlewicz i Skoczylas.

Teoria:

Dla pierwiastka o n-tym stopniu rozwijamy odpowiednio \(\displaystyle{ (x+iy)^n}\)
Następnie tworzymy układ dwóch równań.
Lewą stroną pierwszego równania są wyrazy bez jednostki urojonej, prawą zaś część rzeczywista liczby zespolonej z której liczymy pierwiastek.
Lewą stroną drugiego równania, wyrazy z jednostką urojoną (ale jej pozbawione), prawą część urojona.
Rozwiązania tego układu równań są częściami rzeczywistymi i urojonymi pierwiastków liczby zespolonej. Iksy to części rzeczywiste, igreki - urojone.

Przykład:
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\)

\(\displaystyle{ (x+iy)^2=-3-4i}\)

\(\displaystyle{ x^2+2ixy-y^2=-3-4i}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2-y^2=-3\\2xy=-4\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x=1   y=-2   \wedge   x=-1   y=2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=1-2i        \sqrt{-3-4i}=-1+2i}\)

Całkiem prawdopodobne, że gdzieś w moim rozumowaniu czai się błąd, bo biegły w matematyce nie jestem, ale jeśli ma to znamiona poprawości i choć odrobinę przydatne jest warto było napisać.

Może się kiedyś przyda. ( :

Wracając do teorii, to odnośnie pierwiastków n-tego stopnia, jest ich jak wiadomo n i nawet nie trzeba wszystkich wyliczać w niektórych przykładach, tylko wystarczy to rozrysować na płaszczyźnie Arganda, gdzie kąty pomiędzy tymi pierwiastkami są takie same, np. dla dwóch pierwiastków \(\displaystyle{ \pi}\) a dla trzech \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\).

Wygląda to mniej więcej tak:

.

technofetishist, nie masz mnie za co przepraszać, ale ja spróbuję Ci ukazać, że mój temat nie jest taki zły i nie gryzie ; )
Najlepszy dowód sam sobie dałeś, przepisując fragment książki, w którym to właśnie metoda ta jest zapisana ogólniej, dla pierwiastków n-tego stopnia (acz tylko w teorii, bo w praktyce wychodzą okrutne układy). Ja w moim artykule po prostu opisałem tę metodę dla pierwiastka stopnia drugiego, wyprowadzając ją, a nie tak jak masz w tej książce przykład, że rozwiązania układu są "odgadnięte" : )
Spróbuj nie tyle przeczytać i zrozumieć mój artykuł, co z niego skorzystać, po prostu wstawiając swoje dane pod literki, które je tam reprezentują, a otrzymasz wynik bez myślenia i wielkiego zastanawiania się. Gdyby jakieś jednak problemy były, to pisz tu śmiało, może jeszcze komuś się przyda.
To co mnie wydaje się łatwo i oczywiste, wcale nie musi być dla innych, artykuł zawsze można poprawić, więc śmiało bądź testerem

@Rogal

Spojrzałem jeszcze raz i po przyswojeniu "metody z układem równań" zrozumiałem o co chodzi .
Faktycznie sposób krótszy i lepszy, choć chyba pozostanę przy tym o którym pisałem. Wyłącznie ze względu na to, że nie chciałbym zapomnieć jakiegoś minusa na kolokwium . Z drugiej strony - mam nadzieję, że nie będzie pierwiastków stopnia trzeciego, a jeśli już to z ładnymi wartościami argumentu.

W samym artykule jakoś mętnie jawi mi się środek, ale nie myślałem nad tym zbyt mocno, raczej zmierzałem ku końcowi . Zreszą jak już pisałem - matematyk ze mnie żaden.

Z mojej strony chyba koniec przyswajania pierwiastków . Dziękuję wszystkim za pomoc.

[ Dodano: 12 Czerwca 2007, 14:57 ]
A jednak jeszcze coś... być może się mylę, a już na pewno czepiam, ale czy w Twoim artykule Rogal, ostatnie wzory:

\(\displaystyle{ \sqrt{x+yi} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}} i \ \ \sqrt{x+yi} = -\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} - \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}} i}\)

oraz

\(\displaystyle{ \sqrt{x+yi} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} - \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}} i \ \ \sqrt{x+yi} = -\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}} i}\)

Nie powinny mieć \(\displaystyle{ \wedge}\) zamiast \(\displaystyle{ \vee}\)?