Matematyka.pl

\(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym \(\displaystyle{ U(0,1)}\). Wariancja zmiennej losowej \(\displaystyle{ \max\{X_1,...,X_n\}}\) jest równa
A. \(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+2)}}\)
B. \(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)(n+2)}}\)
C. \(\displaystyle{ \frac{1}{6n}}\)
D. \(\displaystyle{ \frac{1}{2n^2}}\)

Najpierw wyznaczam dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X=\max\{X_1,...,X_n\}}\):
\(\displaystyle{ P(\max\{X_1,...,X_n\} \le t)=P(X_1 \le t)...P(X_n \le t)=(F(t))^n}\), gdzie
\(\displaystyle{ F(t)=egin{cases} 0, & t<0\ t, & t in [0,1) \ 1, & t ge 1end{cases}}\), czyli
\(\displaystyle{ F^n(t)=egin{cases} 0, & t<0\ t^n, & t in [0,1) \ 1, & t ge 1end{cases}}\)
Wobec tego gęstość zmienej losowej \(\displaystyle{ X}\) ma postać:
\(\displaystyle{ f(t)=\begin{cases} 0, & t neq [0,1]\\nt^{n-1}, & t \in [0,1] \end{cases}}\)
Dalej
\(\displaystyle{ EX=\int_0^1nt^ndt=\frac{n}{n+1}, EX^2=\int_0^1nt^{n+1}=\frac{n}{n+2}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ VarX=EX^2-(EX)^2=\frac{n}{(n+1)^2(n+2)}}\)

Ale nie ma takiej odpowiedzi. I pytanie, czy ja mam gdzieś błąd w rozumowaniu/obliczeniach czy jak...

Wydaje się, że Twoje rozwiązanie jest poprawne, a w zadaniu jest błąd.
Podstaw sobie np. n=1. Wtedy powinna wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{12}}\)
i Twoja formuła daje poprawną odpowiedź.